Exponential (Geodätische)

Beschreibung

Das Exponential ist eine Funktion, die in einem Punkt beginnt und den Geodätischen der Mannigfaltigkeit folgt. Es handelt sich um einen Spezialfall des Exponential (Einparametrige Gruppe) wobei das Vektorfeld $X$ das Geodätisches Feld ist.

Definition

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, $p\in M,v\in T_{p}M$. Wir definieren ${\exp }_p(v)=c(1)$, wobei $c$ die eindeutige Geodäte mit $c(0)=p,\dot{c}(0)=v$ ist. Damit ist die Exponentialfunktion: ${\exp }_p(tv)=c(t)$ für $t\in [0,1]$ wohldefiniert.

Eigenschaften

Ableitung bei 0

Für alle $p\in M$ gilt $d_0{\exp }_p=id$. Insbesondere existiert eine kleine Nachbarschaft $V$ um $0$, sodass ${\exp }_p:V\to {\exp }_p(V)$ ein Glatter Diffeomorphismus (Glatte Mannigfaltigkeit) ist.

Das bedeutet, dass kleine Kreise um $0$ glatt auf kleine Kreise abgebildet werden. Für große Kreise ist das nicht notwendigerweise erfüllt. Auf der Kugel wird beispielsweise ein ganzer Kreis von $\mathbb{R}$ durch ${\exp }_p(V)$ auf die Antipode abgebildet.

Beweis: Die Exponentialfunktion ist gleich dem Fluss des Geodätischen Feldes: $d_0{\exp }_p(v)=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{\exp }_q(tv)=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}\psi (1,tv)=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}\psi (t,v)=v$

Freundlich bezüglich Quotientenmetrik

Für eine Quotientenmetrik $M/G$ gilt: $\pi ({\exp }_p^M(v))={\exp }_{\pi (p)}^{M/G}(d\pi (v))$

Gauss Lemma

Das Gausssche Lemma besagt dass die Riemannsche Metrik zweier Vektoren unter Anwendung von ${\exp }_p$ invariant ist. In einer anderen Formulierung besagt das Lemma, dass Geodätische Kreise immer senkrecht verlassen. Siehe Gausssches Lemma

Beispiele

Isometrische Exponentialfunktion

Das Exponential ist im Allgemeinen keine Isometrie. Man kann aber zeigen, dass ${\exp }_p:B_{\epsilon }(p)\to B_{\epsilon }(p)$ genau dann eine Isometrie ist, wenn alle Schnittkrümmungen $0$ in allen Punkten des Balls $0$ sind.

Beweis: Die Hinrichtung ist einfach zu zeigen. Die Schnittkrümmung ist eine Geometrische Eigenschaft und ist damit unter Isometrien invariant. Die Rückrichtung ist allerdings knifflig und wird deshalb ausgelassen.