Beschreibung
Wir betrachten die Menge aller Wörter, die nach links und rechts unendlich lang sind. Die Verschiebung nach rechts ist eine Abbildung auf dem Raum selbst und wird als Vollshift bezeichnet. Mit dem Raum zusammen bildet es ein einfaches Dynamisches System.
Definition
Sei ein Alphabet. Sei die Menge aller nach links und recht unendlich langer Wörter. Bezeichne mit die Abbildung, die ein Wort nach links verschiebt. Das Dynamische System wird Vollshift auf Zeichen bezeichnet. Die Topologie ergibt sich durch die abzählbar unendliche Produkttopologie über die Potenzmenge des Alphabets.
Aufgrund der komischen Art wie unendliche Produkttopologien funktionieren, ist jede Menge offen, wenn sie leer ist oder wenn sie das ganze Alphabet enthält oder wenn nur an endlich vielen Stellen einschränkungen des ganzen Alphabets vorgenommen werden.
Metrik
Die Metriken mit und induzieren die obenstehende Topologie.
Eigenschaften
Kompaktheit
Nach dem Satz von Tychonoff ist das Produkt von kompakten Räumen wieder kompakt.
Periodische Punkte
Es gibt abzählbar viele periodische Punkte und sie liegen dicht in der Menge aller Punkte (da die Mitte bei der Messung wichtiger ist als der Rest, kann man jeden Punkt approximieren, indem man immer größere Teile der Mitte wiederholt.)
Transitive Punkte
Es existieren transitive Punkte. Die Menge aller transitiven Punkten bilden eine dichte G-Delta Menge
Unterschift
Uns interessieren, welche Mengen von Wörtern es gibt, die Mengenweise unter dem Vollshift invariant sind und eine endliche Beschreibung haben. Dies sind die Untershift endlichen Typs
Beispiele
Hard Disc Drive
HHDs speichern Daten, indem kleine Magneten nach links oder rechts magnetisiert werden. Jeder Richtungswechsel induziert beim Lesen Strom, gibt also eine 1 aus. Um den Speicher so platzsparend wie möglich zu machen, sollten die Magneten daher so klein wie möglich sein. Sind die Magneten allerdings zu klein, können zwei Einsen hintereinander nicht korrekt gelesen werden. Sind des Weiteren zwei Einsen zu weit auseinander, so it es schwierig zu wissen, wie viele Nullen dazwischen gemessen wurden. Man löst die beiden Probleme, indem zwischen zwei Einsen mindetens eine aber maximal 8 Nullen liegen. Die Zeichenkette auf dem Band bestimmt sich daher aus einem Untershift endlichen Typs. Im speziellen handelt es sich um einen Lauflängen-beschränkten Code. Denkt man genauer über das obere Beispiel nach, stellt man fest, dass die Regeln nicht bei dem Alphabet durch eine Adjazenzmatrix modellierbar sind. Man kann aber an jeder Stelle einen endlichen Automaten durchlaufen lassen. Nun kann man für jeden Zustand des Automaten ein Zeichen einführen. Der resultierende Graph lässt nun eine Transitionsmatrix zu.
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