Glatte Mannigfaltigkeit

Beschreibung

Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal wie ${\mathbb{R}}^n$ aussieht

Definition (schlecht)

Eine glatte Mannigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum, der hausdorff ist, zweitabzählbar ist und einen Glatter Atlas besitzt.

Die Dimension von allen Punkten muss nicht gleich sein. Sie kann in unzusammenhängenden Regionen verschiedene sein.

Q: Glatte Mannigfaltigkeit A: Ein Topologischer Raum $M$, der hausdorff und zweitabzählbar ist

Q: Dimension einer glatten, zusammenhängenden Mannigfaltigkeit A: $n$ von Karten $\phi :U\to V\subseteq {\mathbb{R}}^n$

Sinn

Wir nehmen Funktion $f:M\to \mathbb{R}$. definieren, die jedem Punkte der Mannigfaltigkeit einen Wert zuordnet (z.B. Temperatur). Das können wir machen, indem wir die Funktionen $f_V:V\to \mathbb{R}$ für jede Karte $\phi :U\to V$ mit $f_V=f\circ {\phi }^{-1}$.

Ähhh… Ich muss da noch ein bisschen darüber nachdenken.

Eigenschaften

Untermenge ist eine Mannigfaltigkeit

$(M\mathcal{T},\mathcal{A})$ sei eine glatte Mannigfaltigkeit und $U\subseteq M$ eine offene Teilmenge. Dann ist $(U,{\mathcal{T}}_U,{\mathcal{A}}_U)$ eine glatte Manigfaltigkeit mit

• ${\mathcal{A}}_U=\text{ges}{\varphi }_i{|}_{U_i\cap U}:U_i\cap U\to {\phi }_i(U_i\cap U):i\in I,I_i\cap U\ne \varnothing$

Beispiel

Sphäre

Wir betrachten die Sphäre $S^n\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$ mit der Relativtopologie aus ${\mathbb{R}}^{n+1}$. Der Atlas besteht aus zwei Karten, die einmal die Kugel ohne den Südpol und einmal die Kugel ohne den Nordpol durch die Stereographische Projektion auf ${\mathbb{R}}^n$ abbildet. Wir erhalten dadurch eine Glatte Mannigfaltigkeit.

Raum der Geraden durch 0

$\mathcal{L}=\text{ges}L\subseteq {\mathbb{R}}^2,L\text{ Gerade durch 0}$ Dieser Raum kann auch durch eine Quotiententopologie beschrieben werden. $\mathcal{L}={\mathbb{R}}^2\backslash \{0\}/\text{klam}x\sim y⟺y=\lambda x\text{ fu¨r }\lambda \in \mathbb{R}$

lit_gallotRiemannianGeometry2004

\newcommand{\R}{\mathbb R}