Beschreibung
Der Tangentialbündel ist lokal eine Produkt von zwei Räumen, nämlich einer kleinen Umgebung um und einem Tangentialraum bei . Es stellt sich jedoch heraus, dass nicht jeder Tangentialbündel auch global ein Produkt ist. Tangentialbündel, die ein Produkt von der ursprünglichen Mannigfaltigkeit und sind nennen wir trivial.
Die Intuition, warum manche Tangentenräume nicht trivial sind, ist ganz gut an einem an einem Möbiusband zu visualisieren. Man stelle sich ein unendlich breites Möbiusband vor. Folgt man dem Möbiusband kommt man auf der anderen Seite an, allerdings hat sich die Raum nun gespiegelt. Das Möbiusband hat daher global nicht die Form eines Produktes.
Definition
Wir nennen einen Tangentialbündel trivial, wenn es einen Diffeomorphismus gibt, sodass und .
Beispiele
2-Sphäre
ist nicht-trivial.
Beweis: Angenommen ein wie oben existiert. Dann können wir mit für eine glatte Schleife die Umlaufzahl der Ableitung definieren.
Die Ableitung ist ein Vektor, der nie Null ist. Da die Ableitung auch eine geschlossene Kurve ist, bildet die Kurve der Ableitung eine Schleife in . D.h.
Betrachte die Kurve um den Äquator der Kugel und sei der Äquator rückwärts durchlaufen. Wir können durch Rotation der Kugel die Abbildung homotop in umwandeln.
Damit muss die Umlaufzahl von und gleich sein. Da aber und umgekehrte Umlaufzahlen haben gilt .
Nun betrachte einen ganz kleinen Kreis um den Nordpol auf , der sich mit Geschwindigkeit gewegt. ist homotop zu , d.h . Da der kleine Kreis sehr nah an liegt, ist der Kreis sehr nah an einem kleinen Kreis in . Für eine ausreihende Nähe ist die Umlaufzahl der Ableitungen der beiden Kreise gleich, also .
Das ist aber ein Widerspruch. Wir haben nämlich vorhin gezeigt, dass die Umlaufzahl sein muss. Also muss nicht trivial sein.
ist bekanntermaßen trivial.