Beschreibung
Ein Blowup ist eine einfache topologische Technik, mit der man neue Topologische Mannigfaltigkeit erzeugen kann. Hierbei wird ein Punkt einer Mannigfaltigkeit “aufgeblasen”. Das passiert, indem wir jede Gerade, die durch den Punkt verläuft als einen neuen Punkt identifizieren. Die Punkte bilden einen Unterraum, der senkrecht auf steht.
Zuletztz verbindet man die Punkte von , die mit einer speziellen Tangente in münden mit dem entsprechenden Punkt. Man erhält eine Konstruktion, wie in diesem Video:
Es gibt zwei verschiedene Blowups, je nachdem ob man eine Gerade oder einen Strahl mit einem neuen Punkt identifiziert. Strahlen sind hierbei wesentlich leichter zu verstehen
Intuition
In der Beschreibung wurde bereits eine Intuition beschrieben. Hier ist noch eine:
Intuition für Strahlenblowup
Wir identifizieren jeden Strahl, der den aufzublasenen Punkt verlässt, mit einem neuen Punkt. Hierzu reicht es den aufzublasenen Punkt als Borhung zu verstehen, diese Auszudehnen und dann einen Kreis in den Rand hineinzukleben. Jeder Punkt des Kreises steht dann für einen Eintrittswinkel.
Mit dieser Methode lassen sich eine Durchbohrte Fläche kompaktifizieren.
Dieser Blowup lässt sich auf Funktionen fortsetzen.
Definition
Eigenschaften
Blowup einer Geschlossenen Fläche
Sei eine Glatte Mannigfaltigkeit. Dann erhält man nach einem Blowup in einem Punkt , wobei die Zusammenhängende Summe bezeichnet.
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