Isometrie (l1-Norm)

Beschreibung

Hier werden Eigenschaften von Isometrien auf der $l_1$-Norm beschrieben.

Definition

Eigenschaften

Erhaltung von Rechtecken

Eine $l_1$-Isometrie erhält Rechtecke, denn Rechtecke sind genau die Vereinigung aller Längenrealisierenden Pfaden zwischen zwei Punkten, bleiben also unter Isometrien gleich.

Erhaltung von Koordinatenachsen

Mit der Rechtecks-Eigenschaft kann man zeigen, dass jede Isometrie, die $0$ erhält, auch Koordinatenachsen aufeinander abbilden muss. Jede Isometrie lässt sich daher schreiben durch eine Rotation und Spiegelung der Achsen. Es ist deshalb eine Komposition der Matrizen: $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Klassifikation

Berücksichtigt man Translationen so ist jede Isometrie erst eine Anwendung einer Koordinatenvertauschenden linearen Abbildung $A$ gefolgt von einer Translation um $p$.

Isometrien haben also die Form: $Ax+p$