Fixpunktindex

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Beschreibung

Der Index eines Fixpunkt beschreibt etwas sehr ähnliches wie der Index (Vektorfeld).Es beschreibt, wie die Abbildung um einen Fixpunkt herum aussieht. Bei einer pseudo-anosovschen Abbildung gibt es die Art der Sattel an.

Definition

Sei $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ eine offene Menge und $f:U\to {\mathbb{R}}^2$ stetig. Sei $x_0\in U$ ein isolierter Fixpunkt von $f$. Sei $x_0\in V\subseteq U$ eine offene Kreisscheibe sodass $f(x)\ne x$ für alle $x\in V-\{x_0\}$. Betrachte die Abbildung $g^V:\partial V\to S^1,x\mapsto \frac{x-f(x)}{\Vert x-f(x)\Vert }$. Der Index des Fixpunktes $x_0$ von $f$ ist definiert als die ganze Zahl $\text{ind}(x_0,f):=g_{\#}^V(1)=\text{tr}(g_{\#}^V)$, wobei $g_{\#}^V$ der induzierte Homöomorphismus auf $H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ ist.

Auf einer Mannigfaltigkeit wird der Index lokal durch eine Karte berechnet.

Eigens]