Gruppe

Beschreibung

Eine Gruppe ist eine Menge von Operationen, die spezielle Eigenschaften haben.

• In einer Gruppe ist die Verkettung von zwei Operationen wieder in der Menge enthalten.
• Die Umkehroperation einer Gruppe ist wieder in einer Menge enthalten

Definition

Definition (Zenk)

Die Definition stammt aus meinem Gedächtnis und muss nicht komplett korrekt sein. Eine Gruppe ist eine Menge $M$ und eine Operation $+$ und wird geschrieben als $(M,+)$, wenn

• die Gruppe hat ein neutrales Element $e$
• für jedes Element $x\in M$ existiert ein Inverses $x^{1-}\in M$, sodass $x+x^{-1}$
• für zwei Elemente $x,y\in M$ ist auch $x+y\in M$
• Die Operation ist assoziativ

Definition (Arnold)

Es sei $A$ eine Transformationsgruppe auf einer Menge X (d.h. eine Menge von Transformationen) Ignoriere die Menge $X$ einfach und nenne $A$ eine Gruppe.

Die Definition ist zu der oberen äquivalent, Arnold benutzt aber die Tupelschreibweise nicht.

Definition Generator (Carter)

Carter benutze beim Erstellen von Gruppen den Begriff des Generators.

Ein Generator ist eine Menge von Aktionen, deren Hintereinanderausführung Aktionen aus dem gleichen Pool ergeben

Dabei muss:

• jedes Aktion eine Umkehraktion haben
• jede Aktion immer anwendbar sein
• jede Aktion hat ein determiniertes Ergebnis

Obacht: Diese Definition erlaubt das Erstellen von Cayley-Diagramme welche aber keine Gruppen nach den anderen Definitionen sind. Carter sagte, dass diese Definition daher unvollständig ist. In späteren Kapiteln erklärt er, dass ein Cayley-Diagram zusätzlich regulär sein muss, das heißt, sich an jedem Knoten gleich verhalten muss. (Jede Folge von Aktionen generiert ein Diagramm, welches bis auf Name genau gleich aussieht)

Gruppenhomomorphismus

Siehe Gruppenhomomorphismus

Eigenschaften

Eigenschaften bei Inversen

• Jedes Element $g\in G$ besitzt höchstens ein Inverses und wird mit $g^{-1}$ bezeichnet
• Seien $g,h\in G$ invertierbare Elemente. Dann sind auch $g\ast h$ invertierbar und es gilt $(g\ast h{)}^{-1}=h^{-1}\ast g^{-1}$ und $(g^{-1}{)}^{-1}=g$
• Seien $g_1,...,g_r\in G$ invertierbare Elemente. Dann sind auch $g_1\ast ...\ast g_r\ast$ invertierbar und es gilt $(g\ast ...\ast g_r\ast {)}^{-1}=g_r^{-1}\ast ...\ast g_1^{-1}$ und $(g^{-1}{)}^{-1}=g$ (Beweis durch Induktion der vorherigen Regel)
• Das Neutralelement $e_G$ von $(G,\ast )$ ist invertierbar und es gilt $e_G^{-1}=e_G$¹

Eigenschaften bei Potenzen

Sei $\varphi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus und $g\in G$ Dann gilt: $\varphi (g^n)=\varphi (g{)}^n$ für alle $n\in \mathbb{Z}$

Den Beweis erhält man durhc Fallunterscheidung und Induktion der oberen Eigenschaften.

Endomorphismen zu Automorphismen

Sei $G$ eine Gruppe $\rho \in End(G)$ ein invertierbarer Endomorphismus. Dann ist $\rho$ ein Automorphismus²

Man nennt die resultierende Gruppe dann die Automorphismengruppe.

Beispiele

Transformationsgruppe

Die Transformationsgruppe ist eine Gruppe von Transformationen

Ganze Zahlen

Sei $A$ die Transformationsgruppe auf der Menge $\mathbb{Z}$, die die ganzen Zahlen hin und her bewegt. Dann kann jede Transformation durch die Operation $+n$ mit $n\in \mathbb{Z}$ dargestellt werden.

Die Menge aller $+n$ bezeichnen wir als die Gruppe $(+,\mathbb{Z})$ Ich denke, man schreibt $+n$, weil nur $n$ zu sehr wie eine Zahl aussieht, aber nur $+$ nicht alle Transformationen repräsentiert.

Permutationsgruppe

Die Menge $Per(X)\subset Map(X)$ der Permutationen versehen mit der Verknüpfung ist eine Gruppe und wird Permutationsgruppe von X gennannt.

Siehe Symmetrische Gruppe

lit_arnoldOrdinaryDifferentialEquations1992 y lit_carterVisualGroupTheory2021 y Gerkmann - Definition 1.7

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 1.6 ↩

2. Gerkmann - Proposition 1.19 ↩