Erzeugende Funktion (Stochastik)

Beschreibung

Eine Erzeugende Funktion ist eine formale Potenzreihe, die genutzt wird, um spezielle Informationen zu verschlüsseln und neue Eigenschaften zu entdecken.

Definition

Sei $X$ eine Zufallsvariable, $x_i$ dessen Elemente und $p(i)$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Dann ist die Erzeugende Funktion der Verteilung gegeben durch $G(t)={\sum }_{i}p(i)t^i=E\{t^k\}$

Eigenschaften

Berechnung des Erwartungswert

Durch Differenzieren der Erzeugenden Funktion und Einsetzen von $t=1$ erhalten wir den Erwartungswert: $G^{\prime }(1)={\sum }_{k}p(k)k=E\{X\}$

Berechnung der Varianz

Durch Multiplizieren von $G^{\prime }(t)$ mit $t$, anschließendes Differenzieren und Einsetzen von $t=1$, erhalten wir $E\{X^2\}=G^{\prime \prime }(1)+G^{\prime }(t)$ In Folge lässt sich die Varianz berechnen durch: $Var(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=G^{\prime \prime }(1)+G^{\prime }(1)-(G^{\prime }(1){)}^2$

Verträglichkeit mit Summe von Zufallsvariablen

Für zwei Zufallsvariablen $X,Y$ mit den Erzeugenden Funktionen $G,H$, ist $GH$ die erzeugende Funktion von $X+Y$.

Beispiele

Würfel

Die Erzeugende Funktion eines einfachen Würfelexperiments ist einfach $G(t)=(t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)/6$

Bernoulli-Verteilung

Siehe Bernoulli-Verteilung

lit_hammingArtProbability2018