Amnon Neeman - Excellent metrics on triangulated categories

Abstract

The talk will expose recent results, still in progress, which explore the right restrictions to impose on metrics on triangulated categories for them to be particularly well-behaved.
We will begin with a historical survey: Rickard proved, back in 1989, that a pair of coherent rings $R$ and $S$ have the property that $D^b(projR)=D^b(projS)$ if and only if $D^b(modR)=D^b(modS)$. Krause asked, in 2018, if there is recipe that constructs $D^b(modR)$ out of $D^b(projR)$. I will briefly review the work that was done in 2018 - including a paper by myself, introducing good metrics on triangulated categories.
And then we will fast-forward, explaining the recent progress and its motivation.

Talk

Derived categories

We derive a category from a ring. The objects are cochain complexes. We can also derive categories from schemes or define so-called relative categories.

A theorem by Rickard 1989 says that the triangulated equivalence of derived categories is independent of decorations.

Krause asked an algorithmical question.

Metric

A metric assigns a positive real number to every morphism with some properties. We then define equivalent metrics. Next we define a Cauchy sequence for elements in a categoriy with a metric.

Triangulated categories

Those have more resptrictions and are easier to work with. We also assume translatio invariance, meaning the space is determinined by the ball around 0. Furthermmore, we assume metric which only take value which are powers of two.

We define st. called a good metric.

Wir sind jetze bei mehr als der Hälfte und erst jetzt wird Exellcence definiert

Mensch, ich bin derartig müde. Ich weiß nicht, ob ich den ganzen Tag durchstehe. Die Sessions gehen imme riene ganze Stunde, deshalb werde ich alle Tricks nutzen um wachzubleiben. Kaffe Trinken, einmal um den Block laufen, vielleicht eine Liegestütze machen. Veilleicht nehme ich sogar einen Nap später. Vielleicht nehme ich in der Plenumsvorlesung einen Nap und bereite mich dann auf die Session vor. Der Typ tut mmir ein bisschen leid. Wenn ich im besten Zustand wäre, könnte ich ihm zuhören und zumindest ein paar “Existenz”-Notizen machen können.