Symmetrischer Automorphismus einer Freien Gruppe

Beschreibung

Symmetrische Automorphismen einer Freien Gruppe sind spezielle Automorphismen einer Freien Gruppe.

Definition

Sei $F_n=⟨x_1,...,x_n⟩$ eine Freie Gruppe. Wir nennen einen Gruppenautomorphismus $\varphi :F_n\to F_n$ symmetrisch, wenn $\varphi (x_i)=y^{-1}{x}_{k}y$ also, wenn $\varphi (x_i)$ konjugiert zu einem anderen Erzeuger ist.

Eigenschaften

Irgendwann Ordnungserhaltend

Ist $\varphi :F_n\to F_n$ ein Symmetrischer Automorphismus einer Freien Gruppe, dann gibt es ein $k\in \mathbb{N}$, sodass ${\varphi }^k$ rein und in Folge Ordnungserhaltend ist.

Beispiele

Durch Zöpfe induzierte Automorphismen

Zöpfe induzieren über die Fundamentalgruppe Automorphismen der freien Gruppe. Diese sind immer symmetrisch

Beweis: Betrachte eine Schleife um $x_i$. Durch Anwendung des Zopfes verändert sich das Ende der Schleife $\varphi (x_i)$, der Hin- und Rückweg bleibt aber parallel, das Ergebnis ist damit konjugiert.

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