Stokes Satz

Beschreibung

Stokes Satz besagt, dass man sehr viele Informationen über das Vorgehen in einem Bereich bekommt, indem man sich ansieht, was am Rand passiert.

Stokes Satz verallgemeinert den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung ${\int }_b^a\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx=\varphi (b)-\varphi (a)$ auf Integrale über eine Differentialform.

Es bildet auch eine Verallgemeinerung des Divergenzsatzes

Definition

Sei $\omega \in \Omega$ eine Differentialform. Auf einer Mannigfaltigkeit mit Rand $M$ gilt ${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega$ wobei $\partial M$ den Rand von $M$ bezeichnet.

Eigenschaften

Integrale von Mannigfaltigkeiten ohne Rand sind 0

Angenommen, $M$ ist eine Orientierte Glatte Mannigfaltigkeit ohne Rand. Sei $\omega$ eine $n-1$-Form. Dann gilt: ${\int }_{M}d\omega =0$