Abstract
For an integer m 2, the set Zm has a natural action of the m-braid group Bm corresponding to Fox colorings for m-braids. In this talk, we provide the orbit classi cation of Zm under the action of Bm by introducing three kinds of invariants of Fox colorings. As an application, we also provide the orbit classi cation under a natural action of the braid-permutation group BPm de ned by Fenn, Rimanyi and Rourke, which corresponds to Fox colorings for virtual braids. This is a joint work with Takuji Nakamura (University of Yamanashi), Yasutaka Nakanishi (Kobe University) and Shin Satoh (Kobe University).
Talk
Hintergrund
Für ein Diagram eines Knoten definieren wir die -Einfärbung. Vergl. n-Färbung.
Eine Färbung ordnet jedem Segment eine natürliche Zahl zu. Für ein tangle können wir einen Bruch für die vier Enden definieren. Wir erhalten dadurch ein mächtiges Werkzeug für das Studium von Rationales Gewirr. Wir hoffen dadurch Gewirre besser unterscheiden zu können.
Wirkung von Zöpfen auf Zm
Die m-Braid group wirkt auf . Die Idee ist hier, jeden Strang mit einer Zahl zu versehen. Flechtet man den Zopf, so gibt die Definition der -Färbung vor, wie die Stränge nach Kreuzungen beschriftet werden sollen. Oben haben wir dann einen neuen Vektor stehen.
Diese Wirkung korrespondiert also mit einer -Färbung von -Zöpfen. Wir können zwei Vektoren äquivalent nennen, wenn sie im gleichen Orbit liegen.
Ich kann mit gut vorstellen, dass man in die Färbung des Abschluss interessiert ist. In dem Fall suchen wir einen Vektor, der unter einem Knoten invariant bleibt, sodass wir Anfang und Ende natürlich verbinden können. Man könnte sich demnach ebenso für den Stabilisator interessieren.
Probleme:
- Finde Bedingungen, sodass zwei Elemente im gleichen Orbit liegen.
- Beschreibe die verschiedenen Orbits
Hauptergebnis
Wir geben eine notwendige und hinreichende Bedingung für Äquivalenz zweier Vektoren.
Wir erhalten eine Zerlegung des Vektorraumes in Orbits.
Neue Invarianten
Wir können die vorherigen Informationen nutzen, um drei Invarianten für Vektoren zu definieren. Die Invarianten bleiben invariant unter der Wirkung von Zöpfen. Eine der Invarianten kann in Normalform dargestellt werden.
Zurück zu Tangles
Rationale Tangles sind durch Zöpfe definiert. Es ist daher möglich, vorherige Ergebnisse zu übertragen. Bei unseren Tangles erlauben wir zudem Loops, d.h. geschlossene Kurve innerhalb der Kugel (die nicht an den Rand anschließen).
Spezialisierungen
Wir spezialisieren die Theorie auf Reiner Zopf und String Verschlingung (?).
Zusammenfassung
Heute haben wir verschiedene Äquivalenzrelationen auf den Vektoren definiert. Wir zeigen auf, wie diese miteinander zusammenhängen und ob die Relationen die definierten Invarianten erhalten.