Inzidenzmatrix (Zugstrecke)

Die Inzidenzmatrix ist ein dynamisches Äquivalent von der Markov-Zerlegung. Eine Trageabbildung einer Invariante Zugstrecke gibt an, wie eine Zugstrecke auf sich selbst faltet. Es definiert also eine Dynamik auf sich selbst. Die Inzidenzmatrix gibt die konkreten Daten der Markov-Zerlegung an. Sie beschreibt, wie oft ein Zweig auf einen anderen Zweig abgebildet wird. Sie ist somit eine schwächere Form der Zugstreckenabbildung, welche zusätzlich Information über die Reihenfolge der durchfahrenen Zugstrecken besitzt.

Definition

Nehme an, dass $f$ isotop zu einem Diffeomorphismus $\varphi$ ist, sodass $\tau$ trägt $\varphi (\tau )$. Seien $e_1,e_2,...,e_k:[0,1]\to S$ die Zweige von $\tau$. Sei $\varphi$ die Trageabbildung. Die Inzidenzmatrix oder Transitionsmatrix ist die Matrix $M=M(\tau ,f)$, wobei $M_{i,j}$ beschreibt, wie oft ein Zweig $e_j$ auf den Zweig $e_i$ abgebildet wird. $M_{i,j}=|e_j\cap (\phi \circ \varphi {)}^{-1}(e_i)|,1\le i,j\le k$ $|\cdot |$ gibt die Anzahl der Zusammenhangskomponenten an.

Die Definition mit der gefaserten Umgebung lässt eine alternative Definition zu, nämlich werden hier die Schnitte eines Zweigbilds mit sogenannten Bindungen gezählt.

Eigenschaften

Bedingung für Existenz

Ist $f$ eine Pseudo-Anosovsche Abbildung einer Fläche $\Sigma$ und $\{F^u\}$ die Klasse der instabilen Blätterung, dann existiert eine Invariante Zugstrecke $\tau$, die passend zu einem $\{F^u\}$ ist und dessen Inzidenzmatrix $M(\tau ,f)$ eine Perron-Frobenius Matrix ist. D.h. nach genug Iterationen wird jedes Segment um jedes andere Segment gewickelt.

Satz: Spektralradius ist Dilatation

Der größte Eigenwert der Inzidenzmatrix ist genau die Dilatation des der Zugstrecke zugehörigen Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus.

Beweis: Ein positiver Vektor beschreibt eine Kombination aus Zweigen (die einen Zugpfad ergeben können). Die Summe über alle Vektorkomponenten gibt die Anzahl der Symbole/Pfade an, aus denen sich der Pfad zusammensetzt. Bei einem wiederholten Anwenden der Matrix wächst die Anzahl der Symbole asymptotisch um den größten Eigenwert, ist damit also genau die Dilatation.

Satz: Blockform

Ist $f$ ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus, dann hat die Inzidenzmatrix eine Blockform: $M=\left(\begin{array}{cc}{M}_0& 0\\ X& M_a\end{array}\right)$ Wobei $M_0$ eine Perron-Frobenius Matrix ist, $X$ eine beliebige Matrix und $M_a$ eine Permutationsmatrix ist. $M_a$ korrespondiert genau mit den Permutationen der peripheren Zweige (welche sich nicht wickeln können) und trägt damit nicht zur Skalierung der Zugstrecke bei. Der größte Eigenwert von $M$ ist gleich dem größten Eigenwert von $M_0$

Satz: Zeigen von Pseudo-Anosov

Besitzt meine einen Homöomorphismus $f$ und eine Invariante Zugstrecke, so kann man anhand der Inzidenzmatrix prüfen, ob die Abbildung ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus ist. Ist die Matrix Perron-Frobenius Matrix und ist der Eigenwert nicht ganzzahlig, dann ist die Abbildung pseudo Anosov.

Beispiele

[!exammd)md)acher Zopf

Wien wir $e_4$ zwei mal auf sich selbst abgebinzmatrix $M_{4,4}=2$. ![[Inzidenzmatrix auf Zopx.md)]] lit_thiffeaultBraidsDynamics2022