Kurvenhomotopie

Beschreibung

Eine Kurvenhomotopie ist eine stetige Deformation einer Kurve in eine andere Kurve mit gleichem Anfangs- und Endpunkt. Diese Definition nervt mich derart. Man möchte meinen, eine Kurvenhomotopie wäre bloß eine Homotopie einer Kurve aber es kommt diese dumme Extrabedingung.

Definition

Sei U wegzusammenhängend Zwei Wege ${\gamma }_0:[a,b]\to U$ und ${\gamma }_1:[a,b]\to U$ heißen homotop, wenn es eine Homotopie von ${\gamma }_0$ zu ${\gamma }_1$ gibt.

Eine Homotopie $H$ von ${\gamma }_0$ zu ${\gamma }_1$ ist eine stetige Abbildung $H:[a,b]\times [0,1]\to U$ mit den Eigenschaften:

1. Zum Zeitpunkt 0 ist H der Weg ${\gamma }_0$ $H(t,1)={\gamma }_0(t)$ für alle $t\in [a,b]$
2. Zum Zeitpunkt 1 ist H der Weg ${\gamma }_1$ $H(t,0)={\gamma }_0(t)$ für alle $t\in [a,b]$
3. Der Anfangspunkt ändert sich während der Deformation nicht $H(a,s)={\gamma }_0(a)={\gamma }_1(a)$ für alle $s\in [0,1]$
4. Der Endpunkt ändert sich während der Deformation nicht $H(b,s)={\gamma }_0(b)={\gamma }_1(b)$ für alle $s\in [0,1]$

Beispiele

Homotopie aber keine Isotopie

Betrachte die Kurve $\gamma :[0,1]\to \mathbb{R},t\mapsto t$ und $\bar{\gamma }:[0,1]\to \mathbb{R},t\mapsto -t$. Es gibt eine stetige Deformationen zwischen den beiden Kurven. Damit sind sie Homotop. Allerdings gibt es keine Isotopie zwischen den beiden.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002