Beschreibung
Eine Abelsche Gruppe (auch kommutative Gruppe) ist eine Gruppe, bei der es egal ist, in welcher Reihenfolge man die Transformationen anwendet
Die Operation in einer abelschen Gruppe wird üblicherweise mit beziechnet.
Definition
Eine Gruppe ist kommutativ, wenn für alle Elemente gilt Die Operation in einer abelschen Gruppe wird üblicherweise mit bezeichnet.
Eigenschaften
In Abelschen Gruppen gilt
Multiplikationstafel
Die Multiplikationstafel einer Abelschen Gruppe ist immer an der Diagonalen symmetrisch.
Cayley Diagramm
Eine Gruppe ist abelsch wenn gilt. Folgt man ein einem Cayley-Diagramm erst einem roten und dann einem blauen Pfeil, sollte man beim gleichen Knoten herauskommen, wie wenn man erst einem blauen und dann einem roten Pfeil folgt.
Produkt aus Zyklischen Gruppen
Carter impliziert, dass Abelsche Gruppen immer eine Zyklische Gruppe oder ein Produkt einer Zyklischen Gruppe ist
Lemma 6.6
Sei eine abelsche Gruppe, seien und mit für Sei . Dann gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus mit
Ist eine abelsche Gruppe mit , dann gibt es eine Abbildung mit für alle und . Mit dieser Abbildung wir auf die Struktur eines -Vektorraums definiert
Ich denke, dieses Lemma ist dazu du um Angst zu machen. Ich lese mir nicht alles durch, was da steht. Für so etwas sind aber anscheinend Lemmata da.
Beispiele
Die Gruppe aller Verschiebungen auf der rellen Achse ist abelsch, da es egal ist, in welcher Reihenfolge ich Verschiebungen durchnehmen soll.
dinaryDifferentialEquations1992]] lit_carterVisualGroupTheory2021