Rotationszahl

Beschreibung

Die Rotationszahl misst wie stark ein dynamisches System einen Punkt durchschnittlich rotiert, wenn man immer wieder eine stetige Abbildung darauf anwendet.

Definition

Sei $f:S^1\to S^1$ eine Grad-1 Abbildung eines Kreises auf sich selbst und $x\in S^1$ ein Punkt. Hebe nun die Abbildung in die Universelle Überlagerung $\tilde{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Die Rotationszahl von $x$ unter $\tilde{f}$ ist dann (sofern definiert): $\rho (x,\tilde{f})={\lim }_{n\to \infty }\frac{{\tilde{f}}^n(\tilde{x})-\tilde{x}}{n}$

Rotationsmenge

Die Rotationsmenge ist die Menge aller Rotationszahlen $\rho (\tilde{f})=\{\rho (x,\tilde{f}\}$

Obacht: Die Rotationszahl ist abhängig von der Hebung $\tilde{f}$. Je nach Hebung unterscheidet sich die Zahl um eine ganze Zahl. Ist dies kein Problem, schreiben wir auch einfach $\rho (f):=\rho (\tilde{f})$

Eigenschaften

Eigenschaft

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