Beschreibung
Der Satz von Bonned-Myers überträgt die lokale Information der Ricci-Krümmung auf eine globale Information der Mannigfaltigkeit.
Definition
Sei eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit. Angenommen für alle Einheitsvektoren . Dann ist ein Kompakter Raum und dessen Durchmesser ist maximal
Beweis: In einer vollständigen, zusammenhängenden Mannigfaltigkeit sind alle zwei Punkte durch eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit) verbunden. Es reicht damit zu zeigen, dass jede längenminimierende Geodätische Radius hat. kompakt.
Angenommen ist eine Geodätische mit und . Wir versuchen nun, eine passende k-Parameter Variation zu erraten, Wähle parallele Vektorfelder entlang , orthonormal zu und zueinander und setze . Das definiert eine eigentliche Variation mit
Berechne nun . Wir erhalten die zweite Erste Variation der Energie:
E''_j(0) &= ...\end{align}$$ Für $K(e_{1(t),}c'(t)) \geq (\frac{1}{r})^2> \left(\frac{\pi}{l}\right)^2$ Daraus folgt $E(c_\varepsilon^k)<E(c)$ für ein $k$ und ein $\varepsilon >0$ klein. $c_\varepsilon^j$ verbindet damit $c(0)$ und $c(l)$ und ist kürzer als $c$. (Widerspruch!) # Eigenschaften Sei $(M, g)$ ein [[Vollständiger Raum]] mit $Ric \geq \varepsilon > 0$. Dann ist die [[Fundamentalgruppe]] $\pi_{1}(M)$ endlich. *Das ist natürlich nur dann relevant, wenn die Dimension $\geq 2$ ist.* $\newcommand{\ges}[1]{\left\{ #1 \right\}}$ $\newcommand{\wink}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$ $\newcommand{\klam}[1]{\left( #1 \right)}$ $\newcommand{\dklam}[1]{\left[\!\!\left[ #1 \right]\!\!\right]}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$ $\newcommand{\H}{\mathbb H}$ $\newcommand{\inv}[1]{#1 ^{-1}}$ $\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}$