Untergruppe

Beschreibung

Sei $(G,\ast )$ ein Gruppe und $G^{\times }\subset G$ eine nichtleere Teilmenge von invertierbaren Elementen. Dann ist $G^{\prime }$ unter der Verknüpfung $\ast$ und $(G^{\times },\ast )$ eine Gruppe. Das Neutralelement $e_G$ von $G$ ist zugleich das Neutralelement von $G^{\times }$ [^1]

Eine solche Gruppe $U$, die Teil der Gruppe $G$ ist nennt man Untergruppe symbolisch: $U\le G$

Beispiele

Triviale Untergruppen

Ist $G$ eine Gruppe, dann ist $G$ und $\{e\}$ eine Untergruppe.

Eigenschaften

Schnitt von Untergruppen

Sei $G$ eine Gruppe und sei $(U_i{)}_{i\in I}$ eine Familie von Untergruppen von $G$. Dann ist auch $U={\bigcap }_{i\in I}{U}_i$ eine Untergruppe von $G$

Satz von Lagrange

Siehe Satz von Lagrange