Agol Zykel

Beschreibung

Fängt man mit einer Messbare Zugstrecke an und wendet die ganze Zeit maximale Spaltungen an, so kann es sein, dass man irgendwann die Wirkung eines pA-Homöos erhält. Es gibt also modulo pA-Homöo und der Reskalierung der Messfunktion eine gewissen Wiederholung. Ein wiederholendes Segment wird Agol Zykel genannt. Der Agol Zykel ist nicht mit der Periodische Spaltfolge zu verwechseln, was eine unendliche Maximale Spaltfolge ist.

Beobachte, dass sowohl der Homöo als auch die Maximalen Spaltungen die Anzahl der Weichen in der Zugstrecke nicht erhöhen. Die Zugstrecke wird damit nicht in dieser Hinsicht komplizierter. Der Homöo kann die Zugstrecke jedoch kompliziert um Henkel wickeln.

Pragmatisch nutze ich Agol Zykel für meine Zeichnungen von Periodische Spaltfolge, da Agol Zykel ja endlich sind. Davon abgesehen, sind die beiden Konzepte aber halt schon zum Verwechseln ähnlich.

Definition

Sei $\varphi :\Sigma \to \Sigma$ ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus mit stabiler Geodätische Laminierung ${\mathcal{L}}^s$ und $(\tau ,\mu )$ passend dazu, dann gibt es $n,m$ sodass $(\tau ,\mu ){\rightharpoonup }^n({\tau }_n,{\mu }_n){\rightharpoonup }^m({\tau }_{n+m},{\mu }_{n+m})$ mit ${\tau }_{n+m}=\varphi ({\tau }_n)$ und ${\mu }_{n+m}=\lambda (\varphi {)}^{-1}{\varphi }_{\ast }({\mu }_n)$.

Die endliche Teilfolge $({\tau }_n,{\mu }_n){\rightharpoonup }^m({\tau }_{n+m},{\mu }_{n+m})=\varphi ({\tau }_n,\lambda (\varphi {)}^{-1}{\mu }_n)$ wird als ein Agol Zykel von $\varphi$ bezeichnet. $m$ wird als die Länge des Agol Zykels bezeichnet.

Merke, dass die Bezeichnung Agol Zykel von $\varphi$ wichtig ist, da von der Periodische Spaltfolge allein nicht klar ist, was die Periode der Abbildung $\varphi$ sein soll.

Beweis: Siehe Periodische Spaltfolge

Eigenschaften

Eindeutigkeit

Da zwei Äquivalente Zugstrecken durch eine gemeinsame Maximale Spaltung (Zugstrecke) verwandt sind und diese einen Agol-Zykel besitzt, sind alle Agol-Zykel von Äquivalenten Zugstrecken modulo Shift, Homöomorphismus und Skalierung gleich.

Unmögliche Zugstrecken

Manche Zugstrecken können in Agol Zykeln niemals vorkommen. Folgende Abschnitte können nicht durch Faltungen vernichtet werden, folglich sind die nicht ein Produkt von Spaltungen. Da aber nach genug Spaltungen jeder Zweig irgendwann gespalten wird, können solche Dinger nicht im Zykel liegen. Sie müssen außerhalb liegen.

Vermutung:

Werden in einer Spaltung zwei große Zweige geteilt, so gibt es eine Symmetrie im Zopf

Beispiele

Beispiel: $3$-Zöpfe

Die Agol-Zykel der pseudo-anosovschen $3$-Zöpfe können mit rationalen Zahlen beschrieben werden. Sei $\beta ={\Delta }^{2j}{\sigma }_1^{p_1}{\sigma }_2^{-q_1}...{\sigma }_1^{p_k}{\sigma }_2^{q_k}$ ein Repräsentant einer Konjugationsklasse von Zöpfen mit Dilatation $\lambda$. Sei $s=[\overline{q_k:p_k,q_{k-1},p_{k-1},...,q_1,p_1}]$ eine rein Periodischer Kettenbruch. Sei $l=p_1+q_1+...p_k+q_k$

1. Die Messbare Zugstrecke $({\omega }_0,{\nu }_0)$ mit $v_0=(1,s)$ ist passend zur stabilen messbaren Blätterung von $\beta$
2. Sei $A=L^{q_k}{R}^{p_k}...L^{q_1}{R}^{p_1}$ wobei $L=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Dann gilt $A(1,s)=\lambda (1,s)$.
3. Beginnend mit der Zugstrecke $({\omega }_0,{\nu }_0)$ erhält man durch konsekutivem Anwenden von erst nur Rechtsspaltungen und dann nur Linksspaltugen einen Agol Zykel von Länge $l$.

Mehr Details findet man auf Zugstrecke der dreifach punktierten Kreisscheibe

4-Zöpfe

Eiko stellte eine Tabelle zusammen, in der die Agol-Zykellängen bestimmter 4-Zöpfe verzeichnet sind.

bitte beachte, dass die Linksnormalform eventuell nicht wirklich interessant ist, da wir uns für Zöpfe bis auf Konjugation interessieren und die Linksnormalform keine Konjugationsinvariante ist.

	Agol Length	Maximal Splitting Count	Dilatation (Pseudo-Anosovscher Zopf)	Linksnormalform (not an invariant!)	SSS Length	Sliding Zykel
$p_1{P}_2{p}_3$	5	8	3,73205	-1; 1232 213	2	6
$(p_1{)}^2{P}_2{p}_3$	8	9	4,79129	-1; 1232 2 213	3	6
$(p_1{)}^3{P}_2{p}_3$	9	…	5,82843	-1; 1232 2 2 213	4	8
$(p_1{)}^4{P}_2{p}_3$	10	…	6,8541	-1; 1232 2 2 2 213	5	10
$(p_1{)}^5{P}_2{p}_3$	11	…	7,87298	-1; 1232 2 2 2 2 213	6	12
$(p_1{)}^6{P}_2{p}_3$	12	…	8,88947	-1; 1232 2 2 2 2 2 213	7	14
Wir können auch den zweiten Wert potenzieren. Wir erhalten dabei eine neue Folge:

	Agol Länge	Dilatation	LNF	SSS Länge	Sliding Zykel
$p_1{P}_2{p}_3$	5	3,73205	-1; 1232 213	2	6
$p_1(P_2{)}^2{p}_3$	7	5,82843	-2; 1321 12132 213	3	9
$p_1(P_2{)}^3{p}_3$	9	7,87298	-3; 1232 21321 12132 213	4	12
$p_1(P_2{)}^4{p}_3$	11	9,89898	-4; 1321 12132 21321 12132 213	5	15
$p_1(P_2{)}^5{p}_3$	13	11,9161	-5; 1232 21321 12132 21321 12132 213	6	18
$p_1(P_2{)}^6{p}_3$	15	13,9282	-6; 1321 12132 21321 12132 21321 12132 213	7

Wir beobachten, dass die Dilatation in einigen Zöpfen die gleiche ist. Ferner gibt es darin ein Muster. Die Anzahl der Sliding Zykel folgt auch einem Muster, wobei es leider keinen Zusammenhang zwischen Sliding Zykel und Agol Zykel zu geben scheint. Das wichtigste Muster ist aber wohl, dass die Länge der Agol-Zykel linear zu wachsen scheint. Die einzige Ausnahme ist der Zykel $p_1{P}_2{p}_3$. Ich konnte zeigen, dass dieser Zykel eine Symmetrie besitzt. Meine Hypothese ist, dass durch die Symmetrie die Anzahl der benötigten Spaltungen reduziert wird. Dies verringert dann die Länge der Agol-Zykel. Um die Hypothese zu testen, messe ich die Zykel der Folge $p_1^n{P}_2{p}_3^n$.

	Agol Cycle lenth		Dilatation (Pseudo-Anosovscher Zopf)	SSS Länge	Sliding Zykel
$p_1{P}_2{p}_3$	5		3,73205	2	6
$(p_1{)}^2{P}_2(p_3{)}^2$	6		5,82843
$(p_1{)}^3{P}_2(p_3{)}^3$	7		7,87298
$(p_1{)}^4{P}_2(p_3{)}^4$	8		9.89898
$(p_1{)}^5{P}_2(p_3{)}^5$	9		11.91608
Wie vorhergesagt, ist hier die Agol Zykel Länge wieder linear steigend. Aber warum reduziert Symmetrie die Länge von Agol Zykeln. Liegt es daran, dass mehrere Spaltungen gleichzeitig durchgeführt werden? Lass uns oben die Anzahl der Spaltungen zählen (welche eine Konjugationsinvariante ist).

Beispiel ${\sigma }_1{\sigma }_3{\sigma }_2^{-1}$

Der Zopf ${\sigma }_1{\sigma }_3{\sigma }_2^{-1}$ wird von Eiko als der einfachste $4$-Zopf bezeichnet. Wie sieht dessen Agolzykel aus? Hier ist eine Darstellung. (Agol-Zykel sind bis auf Permutation der Punkte eindeutig!) Uns fällt auf, dass es die Zugstrecken symmetrisch sind. Was passiert, wenn wir den Quotienten bilden und dadurch die Symmetrie entfernen? Es verschwinden zwei Bohrungen, dafür taucht eine auf, wo wir die Punktsymmetrie durchgeführt haben. In diese Bohrung mündet eine Zugstrecke. Das Ergebnis ist also keine echte Zugstrecke. Vielleicht gibt uns das aber eine sinnvolle Verallgemeinerung der Zugstrecke? Wie man sehen kann, gelten beim Quotient immer noch die gleichen Regeln bei maximalen Splits, außer eine Singularität ist involviert. Wobei die Regeln hier auch nicht sonderlich kompliziert aussehen. Es scheint sich bei unterem um einen $3$-Zopf zu handeln. Was ist das für ein Zopf? Sieh e für mehr Informationen Quotientenzugstrecke