Modellraum

Beschreibung

Modellräume sind Räume mit konstanter Sectional curvature. Es handelt sich also um Räume die in jedem Punkt und in jeder Richtung gleich aussehen.

Definition

Sei $\kappa \in \mathbb{R}$ eine Krümmungszahl. Die Modellräume $M_{\kappa }^n$ mit konstanter Schnittkrümmung $K(V)=\kappa$ für alle $p,V$ sind die skalierten Räume von $S^n,{\mathbb{R}}^n,{\mathbb{H}}^n$.

Eigenschaften

Wen $(M,g)$ ein Modellraum ist und $c$ Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit) mit Einheitsgeschwindigkeit ist, dann hat jedes Normales Jacobi-Feld die Form $J=s_k\cdot P$ Wobei $P$ ein Paralleles Feld entlang $c$ ist.

Lokale Eindeutigkeit

Sei $(M,g)$ ein Raum mit konstanter Schnittkrümmung $\kappa$ und sei $p\in M,\bar{p}{M}_{\kappa }^n$. Sei $A:t_{\bar{p}}{M}_{\kappa }^n\to T_{p}M$ eine lineare Isometrie. Dann existiert ein $r>0$ und eine Isometrie $\psi :B_r(\bar{p})\to B_r(p)$ mit $\psi (\bar{p})=p,d_{\bar{p}}\psi =A$.

Diese Isometrie ist $\psi ={\exp }_p\circ A\circ (\exp {|}_{B_r(\bar{p})}{)}^{-1}$

Globale Eindeutigkeit der Modellräume

Sei $(M,g)$ ein vollständige, zusammenhängende, einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Sectional curvature $\kappa$. Dann ist $M$ isometrisch zu $M_{\kappa }^n$.

Globale Eindeutigkeit der Modellräume 2

Sei $(M,g)$ Vollständig mit konstanter Krümmung $\kappa$. Dann ist $(M,g)$ isometrisch zu einer Quotientenmannigfaltigkeit $M_{\kappa }^n/\Gamma$.