Erweiterungsgrad

Beschreibung

Gibt an, wie groß die Erweiterung ist.

Definition

Ist $L|K$ eine Körpererweiterung, dann definieren die beiden Abbildungen $+:L\times L\to L,(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha +\beta$ und $\cdot :K\times L\to L,(a,\alpha )\mapsto a\alpha$ eine $K$-Vektorraumstruktur auf $L$

Beispiel: $\mathbb{C}$ kann als zweidimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum betrachtet werden. Dabei bezeichnet man $[L:K]=di{m}_{K}L$ als den Grad der Körpererweiterung, auch $[L:K]=\infty$ ist als Wert zugelassen. Ist $[L:K]$ endlich, dann nennt man $L|K$ eine Endliche Körpererweiterung[^1]

Eigenschaften

Gradformel

Seien $L|K$ und $M|L$ endliche Körpererweiterungen. Dann ist auch die Körpererweiterung $M|K$ endlich und es gilt $[M:K]=[M:L]\cdot [L:K]$

Grad 1

Es gilt $[L:K]=1$ genau dann, wenn $L=K$.¹

Beweis: Ist $[L:K]=1$, dann ist $L$ ein 1-dimensionaler $K$-Vektorraum, hat also die gleiche Struktur wie einfach nur $K$

Übungen

Klausur 2019 Aufgabe 5

Bestimmte den Erweiterungsgrad von $K:=\text{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{2}:\text{Q})$. Dabei darf verwendet werden dass $x^2-2$ und $x^3-2$ Minimalpolynome in $\text{Q}$ sind.

$\text{Q}(\sqrt[3]{2})$ ist ein Zwischenkörper von $K|\text{Q}$, also gilt die Gradformel $[K:\text{Q}]=[K:\text{Q}(\sqrt[3]{2})]\cdot [\text{Q}(\sqrt[3]{2}):\text{Q}]$ Das hintere ist $3$, da $x^3-2$ das Minimalpolynom von $\sqrt[3]{2}$ ist. Das vordere ist $2$, da die Nullstellen $\pm \sqrt{2}$ nicht in $\text{Q}(\sqrt[3]{2})$ liegen, womit $x^2-2$ das Minimalpolynom von $\sqrt{2}$ ist. Wären die Nullstellen $\pm \sqrt{2}\in \text{Q}(\sqrt[3]{2})$, dann wäre $\text{Q}(\sqrt{2})$ ein Zwischenkörper von $\text{Q}(\sqrt[3]{2})|\text{Q}$ Dann muss aber der Erweiterungsgrad $[\text{Q}(\sqrt{2}):\text{Q}]=2$ ein Teiler von $[\text{Q}(\sqrt[3]{2})]:\text{Q}=3$, was ein Widerspruch ist.

Klausur 2018 Aufgabe 7

c)

Was ist $[\text{Q}(\sqrt{15},\sqrt{17}):\text{Q}]$? Das gilt wegen quadratfreien Zahlen. Quadratfreie Zahl

Übungen

Klausur 2016 Aufgabe 5

a)

$f$ ist über $\text{Q}$ irreduzibel und normiert und hat Nullstelle $\alpha$, d.h. es ist Minimalpolynom und der Erweterungsgrad ist 4.

b)

${\alpha }^4-\alpha -5=0⟹{\alpha }^4=\alpha +5⟹{\alpha }^7={\alpha }^4+5{\alpha }^3=5{\alpha }^3+\alpha +5$

c)

Wäre $g$ reduzibel, dann müsste ein Linearfaktor ein $\text{Q}(\alpha )$-Polynom sein, das heißt eine Nullstelle liegt in $\text{Q}(\alpha )$. Nenne diese Nullstelle $\gamma$ Damit wäre $\text{Q}(\gamma )$ ein Zwischenkörper von $\text{Q}(\alpha )|\text{Q}$. Nach der Gradformel gilt $[\text{Q}(\alpha ):\text{Q}]=[\text{Q}(\alpha ):\text{Q}(\gamma )][\text{Q}(\gamma ):\text{Q}]$ Damit würde $4=n\cdot 3$, was ein Widerspruch ist.

$[\text{Q}(\alpha ,\beta ):\text{Q}]=[\text{Q}(\alpha ,\beta ):\text{Q}(\alpha )][\text{Q}(\alpha ):\text{Q}]=3\cdot 4$ Da $f$ Min.pol. in $\text{Q}$ und $g$ Min.pol. in $\text{Q}(\alpha )$.

Alg Tut 11 Aufgabe 1

Bestimme den Grad vom Zerfällungskörper von $x^7-5$.

Man erhält den Zerfällungskörper indem $\text{Q}$ durch alle Nullstellen von $f$ in $\mathbb{C}$ adjungiert wird. D.h. Der Zerfällungskörper ist $L:=\text{Q}(\sqrt[7]{5}\zeta ,\sqrt[7]{5}{\zeta }^2,...,\sqrt[7]{5}{\zeta }^7)$.

Behauptung: $L=\text{Q}(\sqrt[7]{5},\zeta )$ $\subseteq :$ Offensichtlich lässt sich jeder Erzeuger aus $\sqrt[7]{5}$ und $\zeta$ erzeugen. $\supseteq :$ Gebe alle Elemente des Erzeugers von $L$ als Kombination von $\{\sqrt[7]{5}\zeta ,\sqrt[7]{5}{\zeta }^2,...,\sqrt[7]{5}{\zeta }^7\}$ an: $\sqrt[7]{5}=\sqrt[7]{5}{\zeta }^7$ $\zeta =\sqrt[7]{5}\zeta /\sqrt[7]{5}{\zeta }^7=\sqrt[7]{5}\zeta /\sqrt[7]{5}=\zeta$

Sei $\alpha =\sqrt[7]{5}$ Zu Zeigen: $[L:\text{Q}]=42$ Da $\text{Q}(\zeta )$ ein Zwischenkörper von $L|K$ ist gilt die Gradformel $[L:\text{Q}]=[L:\text{Q}(\zeta )]\cdot [\text{Q}(\zeta ):\text{Q}]$ Außerdem gilt: $[L:\text{Q}]=[L:\text{Q}(\alpha )]\cdot [\text{Q}(\alpha ):\text{Q}]$ Nach Angabe ist $[\text{Q}(\zeta ):\text{Q}]=6$ Da $f={\mu }_{\text{Q},\alpha }$ Grad 7 hat, gilt $[\text{Q}(\alpha ):\text{Q}]=7$

Somit wird $[L:\text{Q}]$ von $6$ und $7$ geteilt. $⟹[L:\text{Q}]$ wird von $kgV(6,7)=42$ geteilt. $⟹[L:\text{Q}]\ge 42$

Was ist $[L:\text{Q}(\alpha )]$? Sei $g$ das Minimalpolynom von $\sqrt[7]{5}$ in $\text{Q}(\zeta )$

• $f\in \text{Q}(\zeta )[x]$ und $f(\alpha )=0⟹f|g⟹grad(g)\le grad(f)=7⟹[L:\text{Q}(\alpha )]\le 7$ $[L:\text{Q}]=[L:\text{Q}]=[L:\text{Q}(\zeta )]\cdot [\text{Q}(\zeta ):\text{Q}]=[L:\text{Q}]\le 7\cdot 6=42$

D.h. $[L:\text{Q}]=42$

]: Gerkmann - Definition 11.10

Footnotes

1. Böhm - Bemerkung 7.2.3 ↩