Simplex

Beschreibung

Ein Simplex ist eine Verallgemeinerung eines Dreieck und eines Tetraeder. Es gibt verschiedene Definitionen. Eine besonders Elegante ist, ein Simplex als die Konvexe Hülle von $n$ linear unabhängigen, geordneten Vektoren zu definieren.

Definition aus dem Einheitssimplex

Es seien $n+1$ linear unabhängige Vektoren $(v_0,...,v_n)$ gegeben. Diese bilden einen Simplex durch ${\Delta }^n=\{t_0{v}_0+...t_n{v}_n:\sum _i{t}_i=1\}$ Die $t_i$ werden als baryzentrische Koordinaten bezeichnet. Sie messen die Abweichung vom Baryzenter zu den Ecken.

Vokabular

Wir nutzen folgendes Vokabular:

• Eine Seite eines $n$-Simplex ${\Delta }^n$ ist ein $n-1$-Simplex, dass man durch Entfernen einer Ecke und die anschließende Bildung einer konvexen Hülle erhält.
• Der Rand $\partial {\Delta }^n$ ist die Vereinigung aller Seiten
• Den Offenen Simplex ${\mathring{\Delta }}^n={\Delta }^n-\partial {\Delta }^n$ erhält man durch Entfernen des Randes

Eigenschaften

Natürliche Lineare Abbildung

Da die Ecken geordnet sind, lässt sich den Kanten eine natürliche Orientierung zuweisen. Nämlich in Richtung des aufsteigenden Knotens. Es gibt des weiteren eine natürliche, ordnungserhaltende lineare Abbildung zwischen zwei Simplizes

lit_thurstonThreeDimensionalGeometryTopology2014 poloTopology2014]] lit_hatcherAlgebraicTopology2002