Beschreibung
Homologie beschreibt eine Sammlung von Theorien, die immer gleich ausgebaut ist. Man bildet eine Folge von n-Kette-Gruppen. Diese beschreiben abstrakt eingebettete Simplizes. Auf den Ketten werden Randhomomorphismen definiert, die die Seiten des Simplex ausgeben. Die Randhomomorphismen erlauben, Zykel, d.h. Simplizes zu finden, die gewissermaßen geschlossen aussehen. Und sie erlauben Ränder zu finden, d.h. Mengen von Simplizes, die die Seiten eines höherdimensionalen Simplex sind. Der Quotient der beiden Gruppen ergibt eine Homologiegruppe, die für gewöhnlich etwas über die Anzahl der Löcher (d.h. die geschlossenen Simplizes, die nicht der Rand eines anderen Simplex sind) aussagt, aber auch viel mehr Informationen enthalten kann.
Definition
Eigenschaften
Eigenschaft
Beispiele
Homologie von CW-Mannigfaltigkeiten
Simpliziale Homologie
Die einfachste Homologie. Sie beschreibt die Struktur eines Simplizialkomplex. Siehe Simpliziale Homologie
Singuläre Homologie
Eine nützlichere Version der Simplizialen Homologie. Hier werden die Simplizes in beliebige topologische Räume stetig eingebettet, was das Werkzeug mächtiger macht. Siehe Singuläre Homologie
Homologie von Graphen
Bei Graphen gibt es keine Flächen, weshalb, die normalen Homologiegruppen sehr langweilig sind. Wir brauchen bei Graphen Verfeinerungen. Siehe Roff - Reachability homology and the magnitude-path spectral sequence. Die wichtigsten drei Homologietheorien, sind die folgenden Dreien (absteigend nach Sensibilität sortiert). Das interessante hier ist, dass sich alle als Teile einer größeren Magnitude-Pfad-Spektralsequenz betrachten lassen. Abgesehen von der Konstruktion unterscheiden sich die drei Theorien darin, wie sie zyklische Graphen erkennen.
Magnitudenhomologie
Die Magnitudenhomologie (Graphtheorie) betrachtet diskrete lokale Geodätische von Länge genau in Graphen. Es gibt eine Verallgemeinerung für beliebige metrische Räume. Für zyklische Graphen gilt:
Pfadhomologie
Die Pfadhomologie ist eine weitere Homologietheorie von Graphen. ich verstehe den Unterschied zum vorherigen aber nicht. Für zyklische Graphen gilt jedoch:
- für und für (wie ein Punkt)
- für und für (wie ein Kreis)
Erreichbarkeitshomologie
Die Erreichbarkeitshomologie ist eine weitere Homologietheorie von Graphen, ich verstehe den Unterschied zum vorherigen aber nicht. Für zyklische Graphen gilt: für und für (wie ein Punkt)