Hairy Ball Theorem

Beschreibung

Definition

Sei $X:S^2\to T{S}^2$ ein Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit). Da $T{S}^2$ nicht-trivial ist, gibt es einen Punkt $p$ mit $X(p)=0$.

Beweis: Angenommen, obere Eigenschaft gilt, so kann man annehmen, dass $X$ normalisiert ist, d.h. $\Vert X(p)\Vert =1$ für alle $p\in S^2$. Betrachten wir die Tangentialvektoren als Elemente von ${\mathbb{R}}^3$. Für jedes Element des Vektorfeldes $X(p)$ gibt es einen eindeutigen dazu orthogonalen Vektor $Y(p)$, sodass $p$, $X(p)$, $Y(p)$ eine Orthonormalbasis von ${\mathbb{R}}^3$ bilden. Dann hängt $Y(p)$ glatt von $p$ ab. (Wir könnten $Y(p)$ durch das Kreuzprodukt von $p$ und $X(p)$ erhalten).

Das Widerspricht jedoch der Ncht-trivialität von $T{S}^2$. Die Abbildung $\Psi :T{S}^2\to S^2\times {\mathbb{R}}^2,\Psi (p,v)=(p,(\text{wink}v,X(p))\text{wink}v,Y(p))$ hätte die Eigenschaften eines Trivialer Tangentialbündel.

Eigenschaften