Beschreibung
Lie Gruppen sind Gruppen mit der Struktur einer Glatten Mannigfaltigkeit. Da sie zwei verschiedene Sturkturen gleichzeitig besitzten, haben sie sehr faszinierende Eigenschaften. Historisch werden vor allem Matrixgruppe behandelt.
Definition
Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe mit der Struktur einer Glatte Mannigfaltigkeit, sodass die Abbildungen und glatt sind.
In einer Lie-Gruppe lässt sich die Identität auf jeden anderen Punkt, durch eine natürliche und stetige Linksmultiplikation verschieben. Dies erlaubt eine natürliche Identifikation der Tangentialräume. Durch die Identifikation erhält man einen Levi-Cevita-Zusammenhang auf der Lie-Gruppe.
Linksmultiplikation
Wir führen eine Funktion für die Linksmultiplikation ein, damit wir Notationen wie den Pushforward leichter darauf anwenden können:
Eigenschaften
Orientierbarkeit
Jede Lie-Gruppe erlaubt eine nirgens-verschwindende Volumenform und ist damit eine Orientierbare Mannigfaltigkeit.
Triviale Tangentialbündel
Die Tangentialbündel einer Lie-Gruppe sind trivial.