Faserbündel

Beschreibung

Das Faserbündel ist eine Verallgemeinerung des Vektorbündel. Anstelle Vektorräumen als Faser fordern wir nun eine beliebige Mannigfaltigkeiten.

Man kann es als eine Mannigfaltigkeit verstehen, der lokal eine Produktstruktur hat.

Definition

Seien $E,M,F$ Mannigfaltigkeiten und glattes $\pi :E\to B$ eine Abbildung. Das Tripel $(\pi ,E,B)$ ist ein Faserbündel mit Faser $F$, Basis $M$ und totalem Raum $E$, wenn

1. $\pi$ ist surjektiv
2. Es gibt eine offene Überdeckung $(U_i)$ von $M$ und Diffeomorphismen $h_i:{\pi }^{-1}(U_i)\to U_i\times F$ sodass $h_i({\pi }^{-1}(x))=\{x\}\times F$ für $x\in U_i$ (lokale Trivialisation)

Eigenschaften

$\pi$ ist Submersion

$\pi$ ist eine Submersion (Mannigfaltigkeit) in den Basisraum.

Beispiele

Überlagerung

Eine Überlagerung $\pi :Y\to X$ bildet ein Faserbündel mit $X$ als Basis und diskreten Fasern.

Vektorbündel

Faserbündel sind Verallgemeinerungen von Vektorbündel.

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