Untermannigfaltigkeit von R

Beschreibung

Eine Untermenge einer Mannigfaltigkeit, die selbst wieder eine Mannigfaltigkeit ist, nennt man eine Untermannigfaltigkeit. Ist diese Untermannigfaltigkeit in $R^n$ eingebettet, so unterliegen dessen Karten zusätzlichen Bedingungen:

Sie müssen Diffeomorphismen im Kontext des umgebenden $R^n$ sein.

Definition

Glatte Untermannigfaltigkeit (Hensel)

Eine Teilmenge $X\subseteq R^n$ heißt $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ${\mathbb{R}}^n$, wenn für jedes $x\in X$ eine offene Menge $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$ mit $x\in U$ existiert. Außerdem existiert ein Glatter Diffeomorphismus $\varphi :U\to V\subseteq {\mathbb{R}}^n$, sodass $\varphi (X\cap U)=({\mathbb{R}}^k\times \{0{\}}^{n-k})$. (Die Karten von $X$ sind mit denen von $R^n$ verträglich.)

Differenzierbare Untermannigfaltigkeit (algebraisch)

Eine Teilmenge $M\subseteq {\mathbb{R}}^{n+k}$ ist eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse $C^p$, wenn für jedes $x\in M$ eine Umgebung $U$ von $x$ und eine $C^p$-Submersion (Mannigfaltigkeit) $f:U\to R^k$ existiert, sodass $U\cup M=f^{-1}(0)$

Die beiden Definitionen sind tatsächlich äqivalent.

Eigenschaften

Mannigfaltigkeit

Eine $k$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist selbst wieder eine Glatte Mannigfaltigkeit

Beispiel

Graph

Ist $g$ eine Glatte Abbildung, so ist sein Graph eine Untermannigfaltigkeit von R.

Implizite Funktion

Ist $F:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^m,(x,y)\mapsto F(x,y)$ eine Glatte Abbildung, so ist bilden die Lösungen $(x,y)$ von $F(x,y)=p$ eine ${\mathbb{R}}^m$-dimensionale Untermannigfaltigkeit.

Sphären

Sphären sind eine glatte Untermannigfaltigkeit der ${\mathbb{R}}^{n+1}$ in denen sie beheimatet sind.

lit_gallotRiemannianGeometry2004