Modulare Gruppe

Beschreibung

Die Modulare Gruppe ist die Projektive Spezielle Lineare Gruppe spezielle Lineare Gruppe $PSL(2,\mathbb{Z})$ der Matrizen mit ganzzahligen Komponenten und Determinante $1$. Zudem werden die Matrizen $1$ und $-1$ identifiziert.

Die Modulare Gruppe ist wichtig, da sie auf der oberen komplexen Halbebene durch Möbiustransformation wirkt (Sie ist eine Untergruppe der Isometrien der Hyperbolischen Geometrie $PSL(2,\mathbb{R})$). Dort besitzt sie einen Fundamentalbereich, was die Modulare Gruppe zur Fundamentalgruppe der Quotientenfläche macht.

Zur Motivation. Die Elemente, die $\mathbb{R}$ fix halten, sind die Transformation mit rellen Koeffizienten. Die Elemente, die Zahlentheorietisch interessant sind, sind die ganzen Zahlen und die Elemente, die die obere Halbebene fix halten sind die mit Determinante $+1$.

Definition

Die Modulare Gruppe ist beschreibbar durch die Menge der Möbiustransformationen. $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ wobei $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ und $ad-bc=1$.

Sie bildet damit eine diskrete Untergruppe der Isometrien der Hyperbolischen Geometrie.

Charakterisierung: Lineare Symmetriegruppe der rationalen Zahlen

Wir können die rationalen Zahlen $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$ als Gitterpunkte $(a,b)\in \mathbb{Z}$ auf einer zweidimensionalen Ebene verstehen. Die Elemente der Modularen Gruppe wirkt dann linear auf der Ebene und ist eindeutig festgelegt durch die Bilder der “Vektoren” $\frac{1}{0}$ und $\frac{0}{1}$. Da die Abbildungen umkehrbar sind, werden ungekürzte Brüche immer auf ungekürzte Brüche abgebildet. (Sonst könnte man den Bruch kürzen und das Bild des gekürzten Bruches wäre nicht definiert). Ferner wird die Abbildung als Matrix linear. Aufgrund der erhaltenden Eigenschaft ist die Modulare Gruppe genau die lineare Symmetriegruppe der rationalen gekürzten Zahlen.

Zwei der wichtigsten Symmetrien sind die unten genannten $S,T$. (Verschiebung der rationalen Zahlen nach rechts und Drehen der rationalen Ebene um 90 Grad)

Rationale Zahlen lassen sich als Geraden rationaler Steigung verstehen. Irrationale Zahlen werden damit Geraden irrationaler Steigung. Quadratisch irrationale Zahlen wiederum sind durch eine spezielle Schnittfolge gekennzeichnet.

Eigenschaften

Satz: Erzeugendensystem und Bezug zu Kettenbrüchen

Die modulare Gruppe ist erzeugt durch die beiden Möbiustransformationen $S:z\mapsto -\frac{1}{z},T:z\mapsto z+1$ Sie bilden die folgende Präsentation: $P=⟨S,R\mid S^2,(ST{)}^3⟩$ Diese beiden Matrizen wirken auf den reellen Zahlen als Bestandteile der Kettenbruchtransformation. \begin{align} T^{-a_{0}}([a_{0}, a_{1}, ...]) &= T^{-a_{0}}\left(a_{0} [](Kettenbruchtransformation.md)md)..}}\right) = \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{...}} = [0, a_{1}, ...] \\ S([0, a_{1}, ...]) &= S\left(\frac{1}{a_{1} + \frac{1}{...}}\right) = -a_{1} - \frac{1}{a_{2}+\frac{1}{...}} = -[a_{1}, a_{2}, ...] \\ T^{a_{1}}([a_{1}, a_{2}, ...]) &= T^{a_{1}}\left(a_{1} - \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{...}}\right) = \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{...}} = -[0, a_{2}, ...] \\ S(-[0, a_{2}, ...]) &= S\left(\frac{1}{-a_{2} - \frac{1}{...}}\right) = a_{2} + \frac{1}{a_{3}+\frac{1}{...}} = -[a_{2}, a_{3}, ...] \end{align}

Die Abbildung $z\mapsto T^{a_n}S{T}^{-a_{n-1}}...S{T}^{a_1}S{T}^{-a_0}z$ bildet also den Kettenbruch $[a_0,a_1,...,a_n]$ auf $0$ ab. Abbildungen der hyperbolischen Ebene sind dadurch definiert, wie sie auf einem Kreis, bzw. dessen zwei Fußpunkten wirkt. Die obere Abbildung ist also nicht die Einzige, die obere Eigenschaft hat. Um eine eindeutige Charakterisierung zu finden, müssen wir wissen, wie sie auf einem zweiten Fußpunkt wirkt. Eine einfache Wahl ist hierbei $0\mapsto [-a_n,-a_{n-1},...,-a_1,-a_0]$.

Satz: Fundamentalbereich

Wirkt die Modulare Gruppe auf der Hyperbolische Halbebene, so ist der Fundamentalbereich das hyperbolische Dreieck, bestehend aus allen Punkten des Streifens $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\times R^{+}$, die außerhalb des Einheitskreises liegen. Die Quotientenfläche erhält man durch das aneinanderkleben gegenüberliegender Punkte, konkret gegeben durch die Generatoren $S,T$.

Satz: Bezug zur Zopfgruppe

Die Modulare Gruppe ist isomorph zur Quotienten der $3$-Braid group modulo der Volldrehung. Ist das ein Anzeichen auf größere Bezüge? Die Volldrehuzige periodische Element. Entfernt man das, erhält man reine dynamische Information. Vielleicht kann man ähnlich durch die periodischen Elemente des $4$-Zopfes teilen. Vielleicht erhält man dann eine Gruppe, die eine Verallgemeinerung der modularen Gruppe ist und auf dem $4$-dimensionalen hyperbolischem Raum wirkt (mit einer $3$-Kugel als Rand.)

Beispiele

Beispiel: Hyperbolische Elemente

Siehe Nicht-parabolische Modulare Gruppe

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