Zopf

Beschreibung

Eine Zopf ist ein Zopfes, wie man ihn im Alltag kennt. Es ist in erster Linie ein Element einer Braid group. (Dort stehen auch alle interessanten Definitionen, die man zu Zöpfen wissen will)

Zöpfe werden genutzt, um Knoten oder um ein Dynamisches System zu studieren. Da es viele verschiedene Charakterisierungen für Zöpfe gibt, sind sie an vielen verschiedenen Zöpfen anzufinden.

Definition als Partikelbewegung

Wir definieren einen Zopf $z(t)=(z_1(t),...,z_n(t))$, bestehend aus $n$ Fäden durch die stetige Bewegung von Partikeln $z_1(t),...,z_n(t)\in \mathbb{C}$ im Laufe der Zeit $t\in [0,1]$. Wir nehmen an, dass die Partikel zu keinem Zeitpunkt den gleichen Ort einnehmen und mengenweise zum fixierten usprünglichen Ort zurückkehren, d.h. $\{z_1(0),...,z_n(0)\}=\{z_1(1),...,z_n(1)\}$. Zwei Zöpfe $z_1(t),z_2(t)$ sind gleich, wenn die Funktionen durch Isotopien ineinander überführt werden können. Ein Zopf ist damit in Wirklichkeit die Isotopieklasse einer Partikelbewegung.

Wir können obere Definition etwas abstrakter verstehen. Indem wir jede Punktemenge als einem Punkt in einem Konfigurationsraum verstehen, wird ein Zopf zu einer Klasse von Schleifen in diesem Konfigurationsraum.

Definition als Schleife im Konfigurationsraum

Betrachte den Konfigurationsraum $K(\mathbb{C},n)$ von $n$ Punkten: Ein Kurve in diesem Raum beschreibt eine Bewegung der verschiedenen Teilchen. Bei einer Schleife bewegen sich die Punkte mengenweise an die ursprünglichen Stellen zurück. Ein Zopf ist damit die Homotopieklasse von geschlossenen Kurven. Die Zopfgruppe wird dann zur Fundamentalgruppe des Konfigurationsraumes

Was passiert im Konfigurationsraum, wenn man zwei Punkte $z_1,z_2$ auf direktem Weg aneinander vorbei zieht? Der Punkt $p$ des Konfigurationsraumes bewegt sich erst entlang einer Geodätischen auf den Rand zu ($x_1,x_2$ besetzen die gleiche Stelle). Beim Rand angekommen, bewegt sich $p$ auf dem gleichen weg zurück. Vertauscht man die Punkte auf andere Art, wird der Rand umlaufen.

Als nächstes betrachten wir Zöpfe als Abbildungsklassen. Dazu stellen wir uns vor, dass wir eine viskose Flüssigkeit an Rührstäben nach einem Zopfmuster umrühren. Kehren die Rührstäbe an ihre ursprüngliche Position zurück, haben die Flüssigkeitsmoleküle ihre Position auf stetig, orientierungserhaltende Weise verändert. Zöpfe stehen also in engem Bezug mit Homöomorphismen der Durchbohrte Kreisscheibe.

Definition als Abbildungsklasse mit fixem Rand

Ein Zopf ist eine Isotopieklasse von Homöomorphismen der durchbohrten Kreisscheibe $D_n$ die den Rand fix hält. Die Menge aller Zöpfe ist durch die Abbildungsklassengruppe gegeben: $\text{Mod}(D_n,\partial D_n)={\text{Homeo}}^{+}(D_n,\partial D_n)/{\text{Homeo}}_0^{+}(D_n)$

Die folgende Charakterisierung bringt alles zusammen. Übrigens Elemente der Fundamentalgruppe liest man von links nach rechts!!

Definition als Automorphismus von $F_n$

Wir legen alle Startpunkte hintereinander. Jeder Zopf auf $n$ Strängen kann durch das wiederholte Vertauschen (im Uhrzeigersinn) zweier nebeneinanderliegender Stränge erzeugt werden. Das Vertauschen des $i$ und $i+1$-ten Zopfes bezeichnen wir als Standard Erzeuger oder Artin Erzeuger ${\sigma }_i$.

Wir untersuchen, wie die Vertauschung von zwei Bohrungen auf den Generatoren $x_i$ der freien Fundamentalgruppe wirkt.
$x_i^{{\sigma }_i}=x_{i+1},x_{i+1}^{{\sigma }_i}=x_{i+1}^{-1}{x}_i{x}_{i+1},x_j^{{\sigma }_i}=x_j\text{ sonst}$ Das wird auch als Artin-Darstellung bezeichnet.

Ein Automorphismus $f:F_n\to F_n$ wird genau dann durch einen Zopf induziert, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind

• $f$ ist symmetrisch: $f(x_i)$ ist konjugiert zu einem $x_j$
• $f$ erhält die große Schleife: $f(x_1...x_n)=x_1...x_n$

Es lässt sich zeigen, dass zwei Gruppen genau dann auf obige Weise auf einer freien Gruppe wirkt, wenn die folgende Präsentation gegeben ist.

Definition durch Präsentation

Zöpfe erfüllen des Weiteren die Relationen der Artin-Darstellung

• ${\sigma }_j{\sigma }_k={\sigma }_k{\sigma }_j$ für $|j-k|>1$
• ${\sigma }_j{\sigma }_k{\sigma }_j={\sigma }_k{\sigma }_j{\sigma }_k$ für $|j-k|=1$

Wir erhalten Zopfgruppen durch die Präsentation oberer Generatoren und Relatoren.

Eigenschaften

Zöpfe induzieren Permutationen

Ein Zopf induziert eine Permutation auf den Strängen. Diese Permutation ist häufiger interessant. Wir bezeichnen sie häufig durch das Symbol $\tau$

Zöpfe induzieren äußere Automorphismen freier Gruppen

Oben betrachteten wir die Fundamentalgruppe $\pi (D_n,p)$ mit Fußpunkt $p$. Erlauben wir, dass sich der Fußpunkt $p$ frei bewegen darf, so können wir Konjugationen auflösen, indem wir $p$ dem Anfang und Ende der Kurve folgen lassen. Wirkt also ein Automorphismus auf freier Homotopie, so sind Konjugationen der Fundamentalgruppe nicht mehr auszumachen. Der Automorphismus wirkt damit natürlich auf der Gruppe der äußeren Autormorphismen $Out(F_n)$.

Garside positives Zopfwort

Jeder Zopf kann in der Form von Garsides positivem Zopfwort $\beta {\Delta }^{2k}$ geschrieben werden. $\beta$ ist hierbei ein Wort der Generatoren $\sigma$ mit nur positiven Exponenten.

$D_n$ ist homöomorph zu $S_{n+1}^2$. Ein Homöomorphismus auf $S_{n+1}^2$ lässt sich zu einem Homöomorphismus von $S^2$ vervollständigen, der die speziellen $n+1$ Punkte fix hält. Zöpfe können damit ebenfalls Nielsen-Thurston klassifiziert werden.

Nielsen-Thurston-Klassifikation

Zöpfe können als Elemente der Abbildungsklassengruppe von $D_n$ verstanden werden. Damit ist die Nielsen-Thurston Klassifikation möglich. Zöpfe erlauben sogar eine strengere Version. Jeder Zopf ist genau einer von drei Typen:

• Reduzibler und Periodischer Zopf
• Reduzibler und Nicht-periodischer Zopf
• Pseudo-Anosovscher Zopf

Konjugierte Wurzeln

Jede Wurzel eines Zopfes ist konjugiert.

Satz: Umwandlung in Torus

Ein $n$-Zopf mit geradem $n$ kann in einen Torus umgewandelt werden. Die Generatoren werden dadurch zu Dehn-Twists des Torus. Wir gruppieren dazu alle Punktierungen der Kreisscheibe in zweier Paaren. Für jedes zweier-Paar bilden wir in einer Umgebung die doppelte Überlagerung, beschrieben durch die folgenden Klebungen: Kleben wir die Schnitte neu, erhalten wir einen Kreisring in Form eines Rohres. Wir setzen die doppelte Überlagerung außerhalb der Umgebung der beiden Punkte so fort, sodass alle Rohrenden durch zwei Ebenen verbunden sind. Dann machen wir den Rand der Ebene zu einem Loch. Dies gibt uns einen Torus. Wie man in dem oberen Bild sehen kann, werden alle ${\sigma }_i$ für $i$ ungerade zu Dehntwist des Torus. Gruppiert man die Punkte versetzt, so erhält man erneut eine Folge von Kreisringen, die im gleichen Torus eingebettet sind. Logischerweise handelt es sich um die Kreissringe, die Kettenartig die vorherigen verbinden. ${\sigma }_i$ für gerade $i$ werden erneut zu Dehntwist.

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