Negativ gekrümmte Mannigfaltigkeit

Beschreibung

In einem negativ gekrümmten Raum lassen sich viele Eigenschaften über das Verhalten von Geodätischen formulieren. Ich erstelle einen eigenen Artikel, um all die Dinger zu sammeln.

Definition

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt negativ gekrümmt, wenn die Sectional curvature überall $\le \kappa <0$ ist.

Eit.md)t.md)amard

Sei $(M,g)$ einemung.md)mung.md)igkeit und $(\tilde{M},\tilde{g})$ die Universelle Überlagerung. Dann ist ${\exp }_p:\mathbb{R}\to \tilde{M}$ ein Glatter Diffeomorphismus.

Satz von Preissmann

Sei $(M,g)$ eine [faltigkeit|kompakte]], negativ gekrümmte Mannigfaltigkeit mit maximaler Krümmung $\kappa <0$. Dann ist jede Abelsche Gruppe der Fundamentalgruppet das, das jeder Torus $T^n$ keine überall negative Krümmung erlaubt.

Tip

Sei , p)$nicht-null[](Fundamentalgruppe.md)\tilde{M})$ die zugehörige Decktransformation. Dann erhält $a$ eine Geodätische $A$ in $\tilde{M}$ und wirkt als eine Translation: $\exists t_0:a(A(t))=A(t+t_0)$