Abbildungsklassengruppe des 2-Torus

Beschreibung

Wir wollen nun die Abbildungsklassengruppe des 2-Torus berechnen.

Wir zeigen bereits, dass ein Glatter Diffeomorphismus (Glatte Mannigfaltigkeit) des Torus eine Abbildung auf der Fundamentalgruppe und in Folge der dazu isomorphen Homologiegruppe induziert. Die Abbildung ist durch die Bilder der beiden Kurven um die Löcher eindeutig festgelegt und somit kann die Abbildung als Matrix aus ${\mathbb{Z}}^{2\times 2}$ geschrieben werden. Die Matrix muss in ${\mathbb{Z}}^{2\times 2}$ invertiertbar sein, was nur noch die Matrizen $S{L}_2(\mathbb{Z})$ übrig lässt.

Umgekehrt kann man für ein beliebiges Element aus $S{L}_2(\mathbb{Z})$ einen Diffeomorphismus finden, der diese Abbildung induziert. Durch ein wenig weitere Argumentation stellt man fest, dass $MCG(T^2)\cong S{L}_2(\mathbb{Z})$ ist.

Klassifikation der Abbildungsklassengruppen des $2$-Torus

Nach der Nielsen-Thurston Klassifikation lassen sich die Homotopieklassen einer Mannigfaltigkeit mindestens einem von drei Typen zuordnen. Den periodischen, reduziblen und pseudo-anosovschen Homöomorphismen.

Die drei Typen wirken unterschiedlich auf geschlossenen Kurven. Da die geschlossenen Kurven des Torus ${\mathbb{Z}}^2$ als Fundamentalgruppe bilden, ist es möglich, Automorphismen der Fundamentalgruppe als Matrix darzustellen. Wir wollen nun herausfinden, welche Eigenschaften, die verschiedenen Thurston-Nielsen-Typen als Matrix haben.

Die Abbildungsklassengruppe besteht aus invertierbaren, ganzzahligen Matrizen. Da wir nur orientierungserhaltende Abbildungen betrachten, erhalten wir $MCG(T^2)\cong S{L}_2(\mathbb{Z})$. Somit lässt sich jedes Element von $MCG(T^2)$ darstellen als: $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),ad-bc=1$

Die Spur der Matrix ist $\tau =a+d$, das charakteristische Polynom ist nach einer leichten Rechnung $p(x)=x^2-\tau x+1$. Wir klassifizieren die Abbildungen je nach dem Wert der Spur $|\tau |$.

Periodische Abbildungen

Elliptische Abbildung $\tau =0$

Dann gilt $M^4=I$. Dies folgt aus dem Satz von Cayley-Hamilton demzufolge für ein charakteristisches Polynom $c_A(x)$ einer Matrix $A$ gilt: $c_A(A)=0$

Elliptische Abbildung $\tau =\pm 1$

Dann gilt $M^6=I$.

Elliptische Abbildung $\tau =\pm 2$ und $b=c=0$

Dann gilt $M^2=I$. Im Kontext der Nielsen-Thurston Klassifikation ist eine elliptische Abbildung ein Periodischer Homöomorphismus.

Reduzible/Parabolische Abbildung $\tau =\pm 2$

Die Eigenwerte von $M$ sind beide gleich $\tau =\pm 2$ zu einem einzigen Eigenvektor. Der Eigenvektor korrespondiert mit einer Schleife. Durch die Matrix, wird also die Rotation einer Schleife verdoppelt.

Die beiden Elemente $T_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),T_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$ sind besonders. Wir erkennen sie als die Dehn-Twists. Die beiden Matrizen erzeugen die Gruppe $S{L}_2(\mathbb{Z})$.

Die Parabolischen Abbildungen habe die Eigenschaft, dass sie Linear mit Iteration wachsen, sie sin ein Beispieler einer Reduzibler Homöomorphismus, denn sie Erhalten die Schleife des Eigenvektors.

Anosovsche/Hyperbolische Abbildung $|\tau |>2$

Die Eigenvektoren sind in dem Fall irrational. Das heißt, dass keine Schleife auf ein Vielfaches abgebildet wird. Es gibt einen Eigenvektor $u$ zu einem großen Eigenwert $\lambda >1$ und einen Eigenvektor $s$ zum Eigenwert $1/\lambda$. Wir nennen $u$ die Instabile Richtung und $s$ die stabile Richtung.

Die Parabolischen Abbildungen habe die Eigenschaft, dass sie exponentiell mit Iteration wachsen

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