Satz von Tonelli

Beschreibung

Der Satz von Tonelli gibt eine Bedingung, mit der wir Integrale über Produkträumen aufteilen dürfen.

Definition

Seien $({\Omega }_1,{\mathcal{A}}_1,{\mu }_1),({\Omega }_2,{\mathcal{A}}_2,{\mu }_2)$ Maßräume und $f:{\Omega }_1\times {\Omega }_2\to [0,\infty ]$ eine ${\mathcal{A}}_1\otimes {\mathcal{A}}_2-\bar{B}$-messbare Funktion, dann sind für alle $x_1\in {\Omega }_1,x_2\in {\Omega }_2$ die Funktionen

• $f_{x_1}:{\Omega }_2\to [0\infty ],x_2\mapsto f(x_1,x_2)$
• $f_{x_2}:{\Omega }_1\to [0\infty ],x_1\mapsto f(x_2,x_1)$

${\mathcal{A}}_2$-$B_{\mathbb{R}}$ bzw. ${\mathcal{A}}_1$-$B_{\mathbb{R}}$-messbar und die Integrale können getrennt werden:

&= \int_{\Omega_{2}} \left(\int_{\Omega_{1}} f_{x_2}(x_1)d\mu_{1}(x_{1})\right)d\mu_{2}(x_{2})\end{align}$$ # Eigenschaften