Wahrscheinlichkeitsdichte

Beschreibung

Ist die Menge unserer Ergebnis überabzählbar, dann können wir nicht mehr einfach jedem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zuweisen. Würden wir jedem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit $>0$ zuweisen und alle Wahrscheinlichkeiten aufsummieren, würden wir $\infty$ statt $1$ erhalten.

Daher verwenden wir in diesem Fall eine Wahrscheinlichkeitdichte und nehmen an, dass nur Intervalle Wahrscheinlichkeiten $>0$ haben können. Einzelne Ergebnise erhalten eine Wahrscheinlichkeit $=0$.

Definition

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},\mu )$ ein Maßraum und $f:\Omega \to [0,\infty ]$ messbar mit ${\int }_{\Omega }fd\mu =1$. Dann ist $\nu :\mathcal{A}\to [0,1]$, $A\mapsto {\int }_{A}fd\mu$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega ,\mathcal{A})$. $f$ bezeichnen wir als Wahrscheinlichkeitsdichte

Eigenschaften

Zusammenhang mit Verteilungsfunktion

Ist $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß bzgl. $(\mathbb{R},B_{\mathbb{R}})$ mit Dichte $\rho$, dann ist die Verteilungsfunktion gegeben durch: $D(x)=P(]-\infty ,x])={\int }_{]\infty ,x]}\rho d\lambda ={\int }_{-\infty }^x\rho (x)dx$

Hat man umgekehrt eine stetig differenzierbare Verteilungsfunktion $D$gegeben, so gilt $\frac{d}{dx}D(x)=\rho (x)$

Obacht: Nicht alle Maße haben Dichten! Die Dirac-Verteilung ist ein gutes Beispiel dafür.

lit_hammingArtProbability2018