Fuchssche Gruppen

Beschreibung

Eine Fuchssche Gruppe beschreibt bestimmte Untergruppen der orientierungserhaltenden Isometrien der Hyperbolischen Geometrie. Sie verallgemeinern die Modulare Gruppe.

Definition

Eine Fuchssche Gruppe ist eine diskrete Untergruppe der $PSL(2,\mathbb{R})$. Sie ist damit eine Untergruppe der orientierungserhaltenden Isometrien der oberen komplexen Halbebene.

Eigenschaften

Satz: Fundamentaler Bereich ist polygonal

Der Fundamentale Bereich der Fuchsschen Gruppe auf der Hyperbolische Halbebene kann die Form eines Polygons haben. *Manbeschränkter Polygonaler Fundam Zusammenhang zu Riemannschen Flächen Sei $\Gamma$ eine Fuchssche Gruppe, die auf der oberen Halbebene $H$ wirkt. Es gibt eine natürliche Projektionsabbildung $\pi :H\to H/\Gamma$. Sei $F$ der Fundamentalbereich. Die Einschränkung $\pi {|}_F:F\to H/\Gamma$ induziert Klebepunkte am Rand von $F$ und macht $F/\Gamma$ zu einer orientierten Fläche. Elemente, des Fundamentalbereichs, die durch Elliptische Gruppenelemente fixiert sind, induzieren nicht-euklidische Markierungen der Fläche.
Ist der Fundmd)ränkt, so erhält die Fläche eine Spitze. Der Quotient bildet in Folge eine Orbifaltigkeit.

Die Fläche kann eine **hyperbolieordnet werden. Dieses ist definiert als die hyperbolische Flä, dann verschwinden die Singularitäten und $H/\Gamma$ wird zu einer [[Riemannsche Flächation der Elemente Die Elemente einer Fuchsschen Gruppe sind Möbiustransformationen und können damit nach dem bekannten Schema in Elliptisch, Parabolisch und Hyperbolisch unterteilt werden.

Beispiele

Einfache Fuchssche Gruppen

1. Wenn $\Gamma$ endlich ist, dann ist es eine zyklische Gruppe, g Wschent es unendlich zyklisch und durch ein Parabolisches Element generiert
2. Wenn $\Gamma$ ein Hyperbolisches Element $\gamma$ enthält, dass eine Untergruppe von endlichem Index erzeugt, dann ist die Gruppe entweder eneriert
   • Besitzt eine Untergruppe von Index $2$, die durch ein hyperbolisches Element generiert ist.
3. In allen anderen Fällen enthält $\Gamma$ eine Untergruppe, die isomorph zur freien Gruppe mit zwei Erzeugern ist und vollständig aus hyperbolischen Elementen besteht. Die letzte Kategorie wird als nicht-elementar bezeichnet.

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lit_katokFuchsianGroups1992 lit_hubbardTeichmullerTheoryApplications2006