Funktionenkeim

Beschreibung

Funktionenkeime werden als die Bereiche beschrieben, in denen die Lokale Eigenschaften von Funktionen leben. Es ist der kleinste Baustein einer Funktion.

Definition

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit und $p\in M$. Wir definieren den Raum der Funktionenkeime als: $C_p^0(M)=\text{ges}f:U\to \mathbb{R};U\subseteq M\text{ offen },p\in U,f\in C^0{/}_{\sim }$ $C_p^d(M)=\text{ges}f:U\to \mathbb{R};U\subseteq M\text{ offen },p\in U,f\in C^d{/}_{\sim }$ $C_p^{\infty }(M)=\text{ges}f:U\to \mathbb{R};U\subseteq M\text{ offen },p\in U,f\in C^{\infty }{/}_{\sim }$ $C_p^{\omega }(M)=\text{ges}f:U\to \mathbb{R};U\subseteq M\text{ offen },p\in U,f\in C^{\omega }{/}_{\sim }$ für stetige, differenzierbare, glatte oder analytische Funktionen.

wobei $f:U\to \mathbb{R}$ und $f^{\prime }:U^{\prime }\to \mathbb{R}$ äquivalent, wenn es eine Umgebung $W\subset U\cap U^{\prime }$ gibt, auf der die Funktionen gleich sind.

Professor Hensel nutzt für Keimräume $C_p^{\infty }$ glatter Funktionen auch $\tilde{F}$.

Definition Keime auf endlichen Punktemengen

Sei $S\subseteq N$ eine endliche Teilmenge einer glatten Mannigfaltigkeit. Zwei Funktionen $f,g$ sind äquivalent $f{\sim }_{S}g$ g.d.w. $f{|}_U=g{|}_U$ für eine Umgebung $U\subseteq S$. Daraus konstruieren wir den Raum $C_S^{\infty }(N,P):=C^{\infty (N,P)}/{\sim }_S$ Die Elemente werden Keime von $N$ zu $P$ an $S$ genannt.

Raum der verschwindenden Keime

Sei $F_p\subseteq {\tilde{F}}_p$ der Raum aller Keime, die in $p$ den Wert $0$ annehmen.

Eigenschaften

Algebra

${\tilde{F}}_p$ ist eine Algebra, d.h. $\gamma [f]+\mu [g]=[\gamma f{|}_{U\cap V}+\mu g{|}_{U\cap V}]$ und $[f]\cdot [g]=[f{|}_{U\cap V}\cdot g{|}_{U\cap V}]$

Isomorphie zu $C_p^D({\mathbb{R}}^n)$

Ein Funktionenkeimraum $C_p^D(M)$ kann durch eine Karte zu einem isomorphen $C_p^D({\mathbb{R}}^n)$ transformiert werden.

Beispiele

Funktionenkeimraum $C_p^{\omega }(\mathbb{C})$

Der Funktionenkeimraum $C_p^{\omega }(\mathbb{C})$ sind die Keime von analytischen Funktionen, d.h. Funktionen mit Potenzreichendarstellung auf einer nicht-punktförmigen Menge. Der Raum ist also der Raum aller Potenzreihen mit Konvergenzradius $>0$.

lit_gallotRiemannianGeometry2004