Baumslag-Solitar Gruppen

Beschreibung

Definition

Präsentation

Für $m,n\in \mathbb{N}$ ist die Baumslag-Solitar-Gruppe definiert durch: $BS(m,n):=\text{wink}a,b\mid b{a}^{m}b-1=a^n$

Eigenschaften

Charakterisierung durch Lineare Funktionen

Man kann einen Gruppenhomomorphismus mit $a\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),b\mapsto \left(\begin{array}{cc}\frac{n}{m}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ Der Homorphismus ist wohldefiniert, weil obere zwei Matrizen die Relation der Präsentation erfüllt. Man kann das nutzen, um einfach an viele Eigenschaften zu kommen.

Eigenschaften

Komischer Epimorphismus

$\varphi :BS(2,3)\to BS(2,3),a\mapsto a^2,b\mapsto b$ ist ein wohldefinierter Epimorphismus, mit der Eigenschaft $[ba{b}^{-1},a]\in \ker \varphi$. Man kann also den Quotienten bilden: $BS(2,3)/ker\varphi \cong BS(2,3)$ obwohl $ker\varphi$ nicht trivial ist.

Visualisierung durch Horoziegel

Die rechteckige Strecke die man durch den definierenden Relator $b{a}^{m}b-1a^{-n}$ nennt man einen Horoziegel. die Baumslag-Solitar-Gruppen sind daraus aufgebaut.

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