Lie Algebra

Beschreibung

Die Lie-Algebra ist en Konzept, das aus einer Lie Gruppe hergeleitet werden kann. Es ist in gewisser Weise das Vektorraum-Analog einer Lie Gruppe. Geometrisch ist es einfach der Tangentialraum bei der Identität. Der Zusammenhang entsteht durch das Exponential (Geodätische), das jedem Punkt des Tangentenraumes einen Punkt der Lie-Algebra zuordnet.

Definition

Eine (reelle) Lie Algebra ist ein (reeller) Vektorraum $\underline{L}$ mit einer Bilineare Abbildung $[\cdot ,\cdot ]:\underline{L}\times \underline{L}\to \underline{L}$ sodass:

1. $[X,X]=0$
2. Jacobi-Identität: $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$

Manchmal benutzt man für die Lie-Algebra auch die Notation $\mathfrak{g}$.

Konstruktion aus Lie-Gruppe

Sei $G$ eine Lie Gruppe. Setze $\mathfrak{g}{T}_{e}G$. Wir identifizieren $X\in \mathfrak{g}$ mit einem links-invarianten Vektorfeld $L_g^{\ast }X=X$

Eigenschafrlegbarkeit

Eine Lie-Algebra $\underline{L}=T_{id}G$ kann zerlegt werden in $\text{un}[](Linksinvariantes$ sind $\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{\tau }_t$ wobei ${\tau }_t$ Transvektion von Geodätischen sind.

Beispiele

Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

der Vektorfeld (Vektorraum) auf einer Glatte Mannigfaltigkeit bildet zusammen mit der Lie Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra.

Algebr [Links-Algebra)]]

llotRiema--- veranstaltung: “2022WiSe Hensel Differenzierbare Mannigfaltigkeiten” typ: Mathematikartikel

Beschreibung

Die Lie-Algebra ist en Konzept, das aus einer Lie Gruppe hergeleitet werden kann. Es ist in gewisser Weise das Vektorraum-Analog einer Lie Gruppe. Geometrisch ist es einfach der Tangentialraum bei der Identität. Der Zusammenhang entsteht durch das Exponential (Geodätische), das jedem Punkt des Tangentenraumes einen Punkt der Lie-Algebra zuordnet.

Definition

Eine (reelle) Lie Algebra ist ein (reeller) Vektorraum $\underline{L}$ mit einer Bilineare Abbildung $[\cdot ,\cdot ]:\underline{L}\times \underline{L}\to \underline{L}$ sodass:

1. $[X,X]=0$
2. Jacobi-Identität: $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$

Manchmal benutzt man für die Lie-Algebra auch die Notation $\mathfrak{g}$.

Konstruktion aus Lie-Gruppe

Sei $G$ eine Lie Gruppe. Setze $\mathfrak{g}{T}_{e}G$. Wir identifizieren $X\in \mathfrak{g}$ mit einem links-invarianten Vektorfeld $L_g^{\ast }X=X$

Eigenschaften

Zerlegbarkeit

Eine Lie-Algebra $\underline{L}=T_{id}G$ kann zerlegt werden in $\underline{L}=\mathfrak{l}\oplus \mathfrak{p}$ wobei

• $\mathfrak{l}={\mathfrak{T}}_{\mathfrak{e}}\mathfrak{K}$
• $\mathfrak{p}$ sind $\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{\tau }_t$ wobei ${\tau }_t$ Transvektion von Geodätischen sind.

Beispiele

Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Der Vektorraum der Vektorfeld (Vektorraum) auf einer Glatte Mannigfaltigkeit bildet zusammen mit der Lie Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra.

Algebr [Linksinvariantes Vektorfeld (Lie-Algebra)]]

llotRiemannianGeometry2004]]