Beschreibung
Definition
Eine Radiale Geodätische in einem Geodätischer Ball ist eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit) der Form
Eigenschaften
Kürzeste Kurve
Sei . die Pfadmetrik (Glatte Mannigfaltigkeit). Die Radiale Geodätische ist die eindeutige Kurve mit dieser Länge.
Die Radiale Geodätische ist insbesondere für Endpunkte in Total normale Umgebung eindeutig. (die Geodätische muss aber nicht notwendigerweise in der Umgebung bleiben)
Korollar
Sei eine punkteweise -Kurve sodass . Dann ist eine Geodätische und somit glatt
D.h. das die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten immer durch eine glatte Kurve realisierbar ist! Ist desweiteren eine Kurve global längenminimierend, so ist die Kurve automatisch eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit), da man sie mit Total normalen Umgebungen überdecken kann!