Beschreibung
Eine Freie Gruppenoperation beschreibt eine Gruppenoperation, die eine Freie Gruppe charakterisiert.
Definition
Eine Gruppenoperation auf einem Topologischer Raum heißt frei, wenn jedes nichttriviale Element der Gruppe kein Element festhält.
Definition auf Graph
Eine Gruppenoperation auf einem Graph heißt frei, wenn jedes nichtstriviale Element der Gruppe keinen Knoten und keine Kante des Baumes fix hält.
Eigenschaften
Agiert eine Gruppe frei auf einem Baum, dann ist die Gruppe selbst frei.
Beweis: Sei eine Gruppe, die frei auf einem Baum operiert. Wir können eine Baumparkettierung einer Baryzentrische Unterteilung (Graph) finden, sodass es einen eindeutigen Teilbaum für jedes Gruppenelement gibt. Diesen können wir sogar einfach erzeugen: Sei ein beliebiger Knoten des Baumes ist der Orbit unter . Ein Knoten der Baryzentrischen Unterteilung gehört einem Teilbaum , wenn der Abstand zwischen und kleiner gleich allen anderen ist. Die Gruppe erhält Abstände zwischen zwei Elementen der Gruppe und erhält damit auch die Unterteilungen .
Nun kann man ein Erzeugendensystem finden, sodass es für jeds eine eindeutige Zerlegung in möglich ist. Als Erzeugendensystem wählen wir alle , sodass der Teilbaum direkt an angrenzt.
Will man vom Knoten zum Knoten kommen, kann man sich den Baumpfad zwischen den beiden Elementen ansehen. Dieser führt durch eine Folge von Teilbäumen: Wir können mit dem Gruppenelement von Teilbaum nach springen. Das Gruppenelement bildet den Teilbaum auf den damit verbundenen Teilbaum , also ist .
Da der Pfad von zu eundeutig ist, ist auch die Folge der oberen Teilbäume eindeutig. Damit ist eine Freie Gruppe