Lineare Derivation

Beschreibung

Wir bekamen die Idee, dass Tangentenvektoren Richtungsableitungen auf Glatte Mannigfaltigkeit für Funktionen definieren. Daraus entwickeln wir nun die Lineare Derivation (linear derivation). Diese sind ein nützliches Hilfsmittel, da man mit ihnen ohen Kordinatensysteme rechnen kann.

Es ist möglich, das Konzept der Derivation zu globalisieren. Das Resultat nenne ich Globale Derivation

Definition

Eine lineare Derivation auf einem Funktionenkeimraum ist eine Abbildung $v:{\tilde{F}}_p\to \mathbb{R}$ sodass für $f,g\in {\tilde{F}}_p$ die (Produktregel) und die Additionsregel gilt: $v(\lambda f+\mu g)=\lambda v(f)+\mu v(g)$ und $v(f\cdot g)=f(p)v(g)+g(p)v(f)$

Funktionenkeime beschreiben alle möglichen Ableitungskombinationen, die man an einem Punkt haben kann. Sie kodieren also Ableitungsinformation. Eine lineare Derivation verhält sich bezüglich Summen und Produkten von Ableitungsinformationen um $p$ genau so wie die normale Ableitung.

Derivationsraum

$T_p^{der}M=\text{ges}\text{lineare Derivation auf }{\tilde{F}}_p$

Charakterisierung

Vektorfelder

Wir können Derivationen mit einem eindeutigen Lie Ableitung für ein spezielles Vektorfeld $X$ identifizieren. Die Derivation ist dann $X(f)$.

Eigenschaften

Isomorphie zu $\text{klam}{F_p/F_p^2}^{\ast }$

Die Menge aller glatten Derivationen in einem Punkt $p$ bezeichnet als $T_p^{der}$ ist isomorph zu $\text{klam}{F_{\backslash }{F}_p^2}^{\ast }$

${\mathbb{R}}^n$-Derivation in Koordinaten

Jede Derivation $v\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ kann in Koordinaten geschrieben werden als: $v(f)={\sum }_{j=1}^{n}v(x^j)\text{klam}\frac{\partial f}{\partial x^j}{|}_0$

Derivation einer Karte

Wir wollen obere Zerlegung nutzen, um eine Derivation auf eine Karte anwenden, d.h. betrachten, wie sich die Derivation in den Koordinaten der Karte $\phi :U\to V$ verhält. Dazu definieren wir: ${\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p(f):={\frac{\partial f\circ {\phi }^{-1}}{\partial x^i}|}_{\phi (p)}$ Hierbei ist $x^i$ die Koordinatenfunktion, die die $i$-te Koordinate von $\phi (u),u\in U$ ausgibt.

Ich benutze zum Schreiben der Ableitung zwei verschiedene Ableitungsformalismen. Die beiden bedeuten das gleiche.

lit_gallotRiemannianGeometry2004

$\text{DeclareMathOperator}\text{Diff}Diff$