Normalverteilung

Beschreibung

Die Normalverteilung (auch Gauss-Verteilung) ist die kontinuierliche Version der Bernoulli-Verteilung. Sie ist normal in dem Sinne, dass sie allgegenwärtig ist und aus dem Zentraler Grenzwertsatz resultiert.

Definition Normalverteilung

Die Normalverteilung ist definiert auf den reellen Zahlen durch die Wahrscheinlichkeitsdichte: ${\rho }_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}$ Eine Zufallsvariable, dessen Dichte eine Normalverteilung ist, nennen wir normalverteilt und schreiben $X\sim \mathcal{N}(\mu ,\sigma )$

Definition Standardnormalverteilung

Im Spezialfall $X\sim \mathcal{N}(0,1)$ wird die Verteilung als standardnormalverteilt bezeichnet.

Herleitung

Die Normalverteilung entsteht ganz natürlich aus einigen wenigen, selbstverständlichen Bedingungen. (Nach John F. W. Herschel) Angenommen, man will einen Dartpfeil auf den Ursprung einer Ebene werfen. Wir stellen folgende Anforderungen:

• Die Fehler sollen Rotationssymmetrisch zum Ursprung sein
• Fehler in x und y-Richtung sind unabhängig
• Große Fehler sind unwahrscheinlicher als kleine Fehler

Aus diesen Annahmen kann man eine Differentialgleichung in Polarkoordinaten erstellen, deren Lösung die Normalverteilung ist.

Eigenschaften

Integral

Das Integral über den rellen Zahlen ist $1$, es ist also eine wohldefinierte Wahrscheinlichkeitsdichte.

Dies kann man ganz einfach zeigen, indem man das Integral quadriert, als Doppelintegral schreibt und dann dessen Polarkoordinaten ausrechnet.

$I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx{\int }_{-\infty }^{\infty }p(y)dy={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)p(y)dxdy$

Wenn ich es richtig verstehe, muss man beim Wechsel in Polarkoordinaten wegen der unendlichen Grenzen aufpassen. In einem speraratem Schritt zeigte Hamming dass wir den Variablenwechsel durchführen dürfen.

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