Links-Geordnete Gruppe

Beschreibung

Eine links-geordnete Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig auch einer Ordnungsrelation zulässt, die mit der Gruppe kompatibel ist.

Definition

Sei $<$ eine strenge, totale Ordnungsrelation auf einer Gruppe $G$. Wir bezeichnen $(G,<)$ als Links-geordnete Gruppe, wenn $g<h$ impliziert $fg<fh$.

Charakterisierung

Eine Gruppe $G$ lässt eine md)dnung** zu, genau dann wenn es eine Unter-Halbgruppe $P\subseteq G$ gibt sodass für jedes $g\in G$ genau eine der folgenden Bedingungen gilt:

• $g=1$
• $g\in P$
• $g^{-1}\in P$

Obere Charakterisierungen schließt alche Untergruppen aus. Mit der Charakterisierung erhalten wir sogar direkt eine passende Ordnung ${<}_P$: $g{<}_{P}h⟺g^{-1}h\in P$ Umgekehrt lässt sich ein $P$ durch den positiven Kegel aus einer Ordnung $<$ erhalten: $P:=\{g\in G:1<g\}$

Eigenschaften

Torsionsfreiheit

Jede Links-Geordnete Gruppe ist Torsionsfrei. Sost würde eine Ordnung ja unmöglich funktionieren können.

Ordnung auf Produktgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Seien der Normalteiler und die Faktorgruppe $K,H$ links-geordnet mit den positiven Kegeln $P_K,P_H$ Dann ist auch $G$ links-geordnet, mit dem Kegel $P_G[](Kurze$. Wmd)Ordnunpe.md)graphische Ordnung**.

Der N wir die Elemente lexikographisch erst nach dem Faktor und dann nach dem Normalteiler sortieren. (Vielleicht auch andersrum) Als nächstes präsentieren wir eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit Faktorgruppen eine wohldefinierte Ordnung haben.

Ordnung auf Faktorgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Sei $(G,<)$ und seine Untergruppe $(K,<)$ **links-geordnvexe Menge (Gruppe)|Konvexe Untergruppe]]. Dann gibt es eine Links-Ordnung $<$ auf $H$ definert durch

$$Wirinteressierenunddeshalbnichsosehrf\ddot{u}rrechts-geordneteGruppen$$

Existenz einer maximalen konvexen Untergruppe

Sei $(G,<)$ eine endlich-erzeugte nicht-triviale bi-geordnete Gruppe, dann gibt es eine eindeutige maximale konvexe Untergruppe $C\ne G$. $C$ ist ein Normalteiler und $G/C$ ist eine Abelsche Gruppe. Jeder [[Ordnmd)Automorr%20Automorphismus.md)--- literatur: “lit_thiffeaultBraidsDynamics2022” veranstaltung: “2023SoSe Kin FrontierLab” typ: Mathematikartikel

---

Beschreibung

Eine links-geordnete Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig auch einer Ordnungsrelation zulässt, die mit der Gruppe kompatibel ist.

Definition

Sei $<$ eine strenge, totale Ordnungsrelation auf einer Gruppe $G$. Wir bezeichnen $(G,<)$ als Links-geordnete Gruppe, wenn $g<h$ impliziert $fg<fh$.

Charakterisierung

Eine Gruppe $G$ lässt eine dnung** zu, genau dann wenn es eine Unter-Halbgruppe $P\subseteq G$ gibt sodass für jedes $g\in G$ genau eine der folgenden Bedingungen gilt:

• $g=1$
• $g\in P$
• $g^{-1}\in P$

Obere Charakterisierungen schließt almd)che Untergruppen aus. Mit der Charakterisierung erhalten wir sogar direkt eine passende Ordnung ${<}_P$: $g{<}_{P}h⟺g^{-1}h\in P$ Umgekehrt lässt sich ein $P$ durch den positiven Kegel aus einer Ordnung $<$ erhalten: $P:=\{g\in G:1<g\}$

Eigenschaften

Torsionsfreiheit

Jede Links-Geordnete Gruppe ist Torsionsfrei. Sost würde eine Ordnung ja unmöglich funktionieren können.

Ordnung auf Produktgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Seien der Normalteiler und die Faktorgruppe $K,H$ links-geordnet mit den positiven Kegeln $P_K,P_H$ Dann ist auch $G$ links-geordnet, mit dem Kegel $P_G[](Kurze$. WOrdnung agraphische Ordnung**.

Der Name le, dass wir die Elemente lexikographisch erst nach dem Faktor und dann nach dem Normalteiler sortieren. (Vielleicht auch andersrum) Als nächstes präsentieren wir eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit Faktorgruppen eine wohldefinierte Ordnung haben.

Ordnung auf Faktorgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Sei $(G,<)$ und seine Untergruppe $(K,<)$ **links-geordnvexe Menge (Gruppe)|Konvexe Untergruppe]]. Dann gibt es eine Links-Ordnung $<$ auf $H$ definert durch

$$IsteineGruppelinks-geordnet,sokannmaneineandereOrdnungw\ddot{a}hlen,mitderdieGrupperechts-geordnetwird.Wirinteressierenunddeshalbnichsosehrf\ddot{u}rrechts-geordneteGruppen$$

Existenz einer maximalen konvexen Untergruppe

Sei $(G,<)$ eine endlich-erzeugte nicht-triviale bi-geordnete Gruppe, dann gibt es eine eindeutige maximale konvexe Untergruppe $C\ne G$. $C$ ist ein Normalteiler und $G/C$ ist eine Abelsche Gruppe. Jeder [[OrdnAutomorphitender%20Automorphismus.md)--- literatur: “lit_thiffeaultBraidsDynamics2022” veranstaltung: “2023SoSe Kin FrontierLab” typ: Mathematikartikel

---

Beschreibung

Eine links-geordnete Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig auch einer Ordnungsrelation zulässt, die mit der Gruppe kompatibel ist.

Definition

Sei $<$ eine strenge, totale Ordnungsrelation auf einer Gruppe $G$. Wir bezeichnen $(G,<)$ als Links-geordnete Gruppe, wenn $g<h$ impliziert $fg<fh$.

Charakterisierung

Eine Gruppe $G$ lässt eine dnung** zu, genau dann wenn es eine Unter-Halbgruppe $P\subseteq G$ gibt sodass für jedes $g\in G$ genau eine der folgenden Bedingungen gilt:

• $g=1$
• $g\in P$
• $g^{-1}\in P$

Obere Charakterisierungen schließt almd)che Untergruppen aus. Mit der Charakterisierung erhalten wir sogar direkt eine passende Ordnung ${<}_P$: $g{<}_{P}h⟺g^{-1}h\in P$ Umgekehrt lässt sich ein $P$ durch den positiven Kegel aus einer Ordnung $<$ erhalten: $P:=\{g\in G:1<g\}$

Eigenschaften

Torsionsfreiheit

Jede Links-Geordnete Gruppe ist Torsionsfrei. Sost würde eine Ordnung ja unmöglich funktionieren können.

Ordnung auf Produktgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Seien der Normalteiler und die Faktorgruppe $K,H$ links-geordnet mit den positiven Kegeln $P_K,P_H$ Dann ist auch $G$ links-geordnet, mit dem Kegel $P_G[](Kurze$. WOrdnung agraphische Ordnung**.

Der Name le, dass wir die Elemente lexikographisch erst nach dem Faktor und dann nach dem Normalteiler sortieren. (Vielleicht auch andersrum) Als nächstes präsentieren wir eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit Faktorgruppen eine wohldefinierte Ordnung haben.

Ordnung auf Faktorgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Sei $(G,<)$ und seine Untergruppe $(K,<)$ **links-geordnvexe Menge (Gruppe)|Konvexe Untergruppe]]. Dann gibt es eine Links-Ordnung $<$ auf $H$ definert durch

$$IsteineGruppelinks-geordnet,sokannmaneineandereOrdnungw\ddot{a}hlen,mitderdieGrupperechts-geordnetwird.Wirinteressierenunddeshalbnichsosehrf\ddot{u}rrechts-geordneteGruppen$$

Existenz einer maximalen konvexen Untergruppe

Sei $(G,<)$ eine endlich-erzeugte nicht-triviale bi-geordnete Gruppe, dann gibt es eine eindeutige maximale konvexe Untergruppe $C\ne G$. $C$ ist ein Normalteiler und $G/C$ ist eine Abelsche Gruppe. Jeder [[OrdnAutomorphitender%20Automorphismus.md)--- literatur: “lit_thiffeaultBraidsDynamics2022” veranstaltung: “2023SoSe Kin FrontierLab” typ: Mathematikartikel

---

Beschreibung

Eine links-geordnete Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig auch einer Ordnungsrelation zulässt, die mit der Gruppe kompatibel ist.

Definition

Sei $<$ eine strenge, totale Ordnungsrelation auf einer Gruppe $G$. Wir bezeichnen $(G,<)$ als Links-geordnete Gruppe, wenn $g<h$ impliziert $fg<fh$.

Charakterisierung

Eine Gruppe $G$ lässt eine linke Ordnung zu, genau dann wenn es eine Unter-Halbgruppe $P\subseteq G$ gibt sodass für jedes $g\in G$ genau eine der folgenden Bedingungen gilt:

• $g=1$
• $g\in P$
• $g^{-1}\in P$

Obere Charakterisierungen schließt alche Untergruppen aus. Mit der Charakterisierung erhalten wir sogar direkt eine passende Ordnung ${<}_P$: $g{<}_{P}h⟺g^{-1}h\in P$ Umgekehrt lässt sich ein $P$ durch den positiven Kegel aus einer Ordnung $<$ erhalten: $P:=\{g\in G:1<g\}$

Eigenschaften

Torsionsfreiheit

Jede Links-Geordnete Gruppe ist Torsionsfrei. Sost würde eine Ordnung ja unmöglich funktionieren können.

Ordnung auf Produktgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Seien der Normalteiler und die Faktorgruppe $K,H$ links-geordnet mit den positiven Kegeln $P_K,P_H$ Dann ist auch $G$ links-geordnet, mit dem Kegel $P_G[](Kurze$. Wir nennen diese Ordnung auch die lexikographische Ordnung.

Der Name lexikographisch kommt vermutlich davon, dass wir die Elemente lexikographisch erst nach dem Faktor und dann nach dem Normalteiler sortieren. (Vielleicht auch andersrum) Als nächstes präsentieren wir eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit Faktorgruppen eine wohldefinierte Ordnung haben.

Ordnung auf Faktorgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Sei $(G,<)$ und seine Untergruppe $(K,<)$ **links-geordnvexe Menge (Gruppe)|Konvexe Untergruppe]]. Dann gibt es eine Links-Ordnung $<$ auf $H$ definert durch $1<h⟺\forall g\in p^{-1}(h):1<g$

Rechtsordnung

Ist eine Gruppe links-geordnet, so kann man eine andere Ordnung wählen, mit der die Gruppe rechts-geordnet wird. Wir interessieren und deshalb nich so sehr für rechts-geordnete Gruppen

Existenz einer maximalen konvexen Untergruppe

Sei $(G,<)$ eine endlich-erzeugte nicht-triviale bi-geordnete Gruppe, dann gibt es eine eindeutige maximale konvexe Untergruppe $C\ne G$. $C$ ist ein Normalteiler und $G/C$ ist eine Abelsche Gruppe. Jeder Ordnungserhaltender Automorphismus erhält $C$.

lit_kinBraidsOrderingsMinimal2018