Immersion (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Eine Immersion ist eine spezielle Abbildung, die eine Glatte Mannigfaltigkeit in eine andere einsetzt.

Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie lokal injektiv ist.

Definition

Sei $f:M\to N$ eine Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. $f$ ist eine Immersion, wenn $d_{p}f$ für alle $p\in M$ invertierbar, d.h. injektiv ist.

Beispiel

Gerade auf Kreis

Die Abbildung $\mathbb{R}\to S^1,t\mapsto e^{it}$ ist eine Immersion.

Kanonische Form

Sei $p\le n$ und $f:{\mathbb{R}}^p\to {\mathbb{R}}^m$ eine Immersion mit $f(0)=0$. Dann existiert ein lokaler Diffeomorphismus $\varphi$ um $0$ in ${\mathbb{R}}^n$ mit $\varphi (0)=0$ sodass $\varphi \circ f(x_1,...,x_p)=(x_1,...,x_p,\mathrm{0...},0)$

lit_gallotRiemannianGeometry2004 re-Mannigfaltigkeiten lit_gallotRiemannianGeometry2004