Normale Erweiterung

Beschreibung

Eine spezielle Form einer Körpererweiterung.

Definition

Eine Algebraische Erweiterung $L|K$ heißt normal, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Ist $f\in K[x]$ ein irreduzibles Polynom, das in $L$ eine Nullstelle besitzt, dann zerfällt $f$ über $L$ in Linearfaktoren.¹

Charakterisierungen

Sei $K$ ein Körper, und seien $\tilde{K}\supseteq L\supseteq K$ Erweiterungen von $K$, wobei $L|K$ endlich und $\tilde{K}$ algebraisch abgeschlossen ist. Dann ist $L|K$ genau dann normal, wenn

• Es gibt ein nicht-konstantes Polynom $f\in K[x]$, so dass $L$ der Zerfällungskörper von $f$ über $K$ ist. ODER
• Es gilt $Ho{m}_K(L,\tilde{K})=Au{t}_K(L)$²

Normalteiler

Eine Erweiterung ist normal, wenn seine zugehörige Galoisgruppe ein Normalteiler ist oder so. Siehe Hauptsatz der Galoistheorie.

Hinreichende Bedingungen

Wenn ein Körper $K$ alle $p$-ten Wurzeln der Einheit enthält und wenn $a^p\in K$ aber $a\notin K$, dann ist $K(a)$ eine Normale Erweiterung von $K$

Beispiele

Sei $K$ ein Körper und $L|K$ eine Erweiterung von Grad 2. Dann ist $L|K$ normal.³

Beweis: o.E. sei $f$ normiert. Dann gilt $f={\mu }_{\alpha ,K}⟹[K(\alpha ):K]=grad(f)$…

Übungen

Checkliste Gerkmann

Geben Sie Körpererweiterungen $M|K$ und $L|M$ mit $K\subset M$ und $M\subset L$ an, sodass

1. $L|K$ und $L|M$ normal aber $M|K$ nicht normal

2. Alle drei Erweiterungen normal sind.

3. $\text{Q}(\sqrt[3]{2},{\zeta }_3),\text{Q}(\sqrt[3]{2}),\text{Q}$

4. $\text{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),\text{Q}(\sqrt{2}),\text{Q}$

Footnotes

1. Gerkmann - Definition 16.1 ↩

2. Gerkmann - Satz 16.3 ↩

3. Gerkmann - Proposition 16.2 ↩