Grenzmenge

Beschreibung

Die Grenzmenge (engl. Limit set) beschreibt die Punkte im unendlichen, die man durch wiederholtes Anwenden einer Isometrie oder einer Isometriemenge erreichen kann. z.B. $z\mapsto z+1$.

Sie spielen eine große Rolle in Zusammenhang mit einer Fuchssche Gruppen.

Ich frage mich ob das mit Wenyuan Yang - Limit sets for branching random walks on relatively hyperbolic groups zusammenhängt…

Definition

Sei $X$ eine hyperbolische Riemannsche Fläche und $\pi :H\to X$ eine Universelle Überlagerung. Diese Überlagerung stellt $X$ als Quotient $H/\Gamma$ dar. $\Gamma$ wirkt außerdem auf $S^1=\partial H$. Nehme einen Punkt $z\in H$ und betrachte den Abschluss des Orbits auf dem Rand $\bar{H}$. Wir definieren die Grenzmenge als ${\Lambda }_{\Gamma }(z):=\overline{{\Gamma }_z}\cap S^1$

Eigenschaften

Satz: Ganzer Kreis oder volumenlose Menge

Eine Grenzmenge der Poincaré Scheibe ist immer entweder der ganze Kreisrand oder hat verschwindendes Borel-Lebesgue-Maß.

Beispiele

Beispiel: Freie Gruppe

Die Freie Gruppe wirkt wie folgt auf der Hyperbolische Ebene Die Grenzmenge ist homöomorph zur Cantor-Menge.