Dehn-Twist

Beschreibung

Der Dehn-Twist ist eine einfache Abbildung, bei der eine Fläche um eine einfache Kurve getwistet wird.

Definition

Sei $S$ eine Fläche und $c$ eine einfache Kurve, mit der Reguläre Umgebung $N\subseteq S$. Sei $ı:A\to N$ ein Orientierungserhaltender Homöomorphismus. Der Homömorphismus $D_C:S\to S$ definiert durch $D_c(x)=\{\begin{array}{ll}ı\circ D\circ {ı}^{-1}(x)& x\in N\\ x& x\in S-N\end{array}$ Hierbei ist $D$ der Dehn-Twist der Annulus, der den inneren Kreis um einer Volldrehung rotiert.

Obere Definition zeigt schön auf, warum das Arbeiten auf nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten ganz anders ist. Geschlossene Kurven können da nämlich Möbiusschleifen-förmige Umgebungen besitzen. In dem Fall existiert ein Homöomorphismus wie oben nicht.

Eigenschaften

Eigenschaft

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