Irreduzibles Polynom

Beschreibung

Ein irreduzibles Polynom ist ein Polynom (Algebra), welches sich nicht als Produkt von zwei (nicht-trivialen) Polynomen schreiben lässt.

Irreduzible Polynome sind das Analog von Primzahlen und teilen viele Gemeinsamkeiten. Irreduzible Polynome sind des Weiteren ein Spezialfall des Irreduzibles Element.

Eigenschaften

Minimalpolynom

Jedes Irreduzible Polynom ist ein Minimalpolynom.

Übungen

Zth Klausur 2018 Aufgabe 4

a)

$x^2+2=(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})$. Angenommen, das Polynom wäre reduzibel, dann müsste es in zwei linearfaktoren zerfallen und $\pm i\sqrt{2}$ müsste in $\text{Q}$ liegen, es liegt aber schon nicht in $\mathbb{R}$.

b)

Faktorring $x^2+2$ ist ein irreduzibles Polynom und normiert. Damit ist es Minimalpolynom von $i\sqrt{2}$. Dann gitb es nach Satz aus der Vorlesung einen Isomorphismus vom oberen Faktorring zu $\text{Q}(i\sqrt{2})$.

c)

${\alpha }^6=x^6+(x^2+2)$ $x^6=x^4(x^2+2)-2x^4$ $-2x^4=-2x^2(x^2+2)+2x^2)=x^4(x^2+2)-2(x^2(x^2+2)-2(x^2+2-2)))$ der Rest ist also $8$. Das hätte man durch Polynomdivision aber wahrscheinlich schneller herausbekomm