Kombinatorische Äquivalenz (Zugstrecke)

Beschreibung

Wir nennen zwei Messbare Zugstrecken kombinatorisch äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus der Kontextfläche gibt, der eine Zugstrecke auf die andere abbildet. Hodgson beschreibt einige kombinatorische Eigenschaften, die zu oberem identisch sind. Diese kombinatorische Beschreibung ist extrem wichtig, wenn man zum Beispiel ein Programm wie das von Issa schreiben möchte.

Ursprünglich wurde das Konzept von Mosher eingeführt. Ich glaube, ab hier fange ich an, auf englisch zu schreiben. Wenn ich noch ein wenig weiter mit Forschung mache, ist es sicherlich nützlich, meine Seiten an andere Leute zu schicken.

Definition (Mosher):

Two Train tracks $\tau ,{\tau }^{\prime }\subseteq S$ are called combinatorically equivalent (or topologically equivalent) if there exists a orientation-preserving homeomorphism $f\in {\text{Homeo}}_{+}(S)$ such that $f(\tau )={\tau }^{\prime }$

Issa und Hodgon benutzen das Konzept, um eine App zu schreiben. Deren Definition ist demnach wirklich kombinatorisch. (Und auf messbare Zugstrecken ausgelegt)

Definition (Hodgson)

Seien $(\tau ,\mu ),({\tau }^{\prime },{\mu }^{\prime })$ zwei Messbare Zugstrecke auf einer Fläche $S=Sg,p$. Wir nennen sie kombinatorisch äquivalent, wenn es eine Bijektion zwichen den Zugstrecken gibt, sodass:

• Die Abbildung induziert einen Graphisomorphismus
• Erhält die zyklische Ordnung orientierter Kanten um jede Weiche
• Erhält die Glättungen auf jeder Weiche (d.h. welche Zweige auf welcher Seite des Tangentialraums sind)
• Bildet Kanten auf Kanten des gleichen Gewichts ab
• Erhält komplementäre Regionen, das verstehe ich nicht ganz aber mehr Infos stehen wohl in Mosher. Auf jeden Fall ist diese Eigenschaft wichtig, weil sie erst zur Folge hat, dass man aus einer Zugstreckenabbildung die Abbildungsklassengruppe reproduzieren kann.

Ich finde diese Äquivalenz super nützlich. Man könnte damit die Definition der Periodische Spaltfolge und des Agol Zykel vereinfachen, indem man fordert, dass Anfang und Ende kombinatorisch äquivalent sein müssen. Allerdings müsste man erst die Bedingung mit den Gewichten abschwächen oder eine kombinatorische Äquivalenz von projektiven Zugstrecken betrachten.

Eigenschaften

Satz:

Beispiele

Beispiel: