Kombinatorische Isomorphie (Homöomorphismus)

Beschreibung

Die Kombinatorische Isomorphie definiert eine Isomorphie auf pseudo-Anosovschen Abbildungen. Es stellt sich heraus, dass dieser Begriff der Isometrie damit übereinstimmt, dass zwei pseudo-anosovsche Abbildungen in der Abbildungsklassengruppe zueinander konjugiert sind.

Definition:

Seien $\varphi ,{\varphi }^{\prime }:\Sigma \to \Sigma$ pseudo-Anosovsche Abbildungen mit Agol Zykel $\mathcal{P}:({\tau }_n,{\mu }_n){\rightharpoonup }^m({\tau }_{n+m},{\mu }_{n+m})\rightharpoonup ...$ und einem analogen Zykel $\mathcal{P}$ für ${\varphi }^{\prime }$. Wir sagen, dass $\mathcal{P}$ und ${\mathcal{P}}^{\prime }$ kombinatorisch isomorph sind, wenn $m=m^{\prime }$ und wenn es einen orientierungserhaltenden diffeomorphismus $h:\Sigma \to \Sigma$ ganze Zahlen $p,q\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ und $c\in {\mathbb{R}}_{>0}$ gibt, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind

1. ${\varphi }^{\prime }=h\circ \varphi \circ h^{-1}$
2. $h({\tau }_{p+i},{\mu }_{p+i})=({\tau }_{q+i}^{\prime },c{\mu }_{q+i}^{\prime })$

Eigenschaften

Satz:

Die Abbildungsklassengruppen zweier pseudo-Anosovscher Abbildungen sind zueinander konjugiert, g.d.w. wenn sie kombinatorisch isomorph zueinander sind.

kawamuroCompleteDescriptionAgol2023